Упр.1236 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)
1) tg^2x + 3tgx = 0;
2) 2 tg^2x — tgx — 3 = 0;
3) tgx — 12ctgx +1 = 0;
4) tgx + ctgx = 2.
$$\tg^2 x+3\tg x=0$$
$$\tg x(\tg x+3)=0$$
Отсюда:
$$\tg x=0 \quad \text{или} \quad \tg x=-3.$$
Тогда
$$x=\pi n \quad \text{или} \quad x=-\arctg 3+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
$$2\tg^2 x-\tg x-3=0$$
Пусть $$y=\tg x$$. Тогда
$$2y^2-y-3=0.$$
$$D=1+24=25,$$
$$y_{1,2}=\frac{1\pm 5}{4}.$$
Получаем:
$$y_1=-1,\quad y_2=\frac32.$$
Значит,
$$\tg x=-1 \quad \text{или} \quad \tg x=\frac32.$$
Следовательно,
$$x=-\frac{\pi}{4}+\pi n \quad \text{или} \quad x=\arctg\frac32+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
$$\tg x-12\ctg x+1=0$$
$$\tg x-\frac{12}{\tg x}+1=0.$$
Пусть $$y=\tg x$$. Тогда
$$y-\frac{12}{y}+1=0,$$
$$y^2+y-12=0.$$
$$D=1+48=49,$$
$$y_{1,2}=\frac{-1\pm 7}{2}.$$
Получаем:
$$y_1=-4,\quad y_2=3.$$
Значит,
$$\tg x=-4 \quad \text{или} \quad \tg x=3.$$
Следовательно,
$$x=-\arctg 4+\pi n \quad \text{или} \quad x=\arctg 3+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
$$\tg x+\ctg x=2$$
$$\tg x+\frac{1}{\tg x}=2.$$
Пусть $$y=\tg x$$. Тогда
$$y+\frac{1}{y}=2,$$
$$y^2-2y+1=0,$$
$$\left(y-1\right)^2=0.$$
Отсюда
$$\tg x=1,$$
$$x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
Ответ
1) $$x=\pi n,\; -\arctg 3+\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$
2) $$x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\; \arctg\frac32+\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$
3) $$x=-\arctg 4+\pi n,\; \arctg 3+\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$
4) $$x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$
