Упр.1235 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

1) 6sin^2 x — cosx + 6 = 0;
2) 8cos^2x — 12sinx + 7 = 0.

1) $$6\sin^2 x-\cos x+6=0.$$

Заменим $$\sin^2 x=1-\cos^2 x$$:

$$6(1-\cos^2 x)-\cos x+6=0$$
$$6-6\cos^2 x-\cos x+6=0$$
$$6\cos^2 x+\cos x-12=0.$$

Пусть $$y=\cos x$$. Тогда

$$6y^2+y-12=0.$$

Найдём корни:

$$D=1+4\cdot 6\cdot 12=289,$$
$$y_{1,2}=\frac{-1\pm 17}{12}.$$

Получаем:

$$y_1=-\frac{3}{2}, \qquad y_2=\frac{4}{3}.$$

Но $$\cos x\in[-1;1]$$, поэтому оба значения невозможны. Следовательно, уравнение не имеет решений.

2) $$8\cos^2 x-12\sin x+7=0.$$

Заменим $$\cos^2 x=1-\sin^2 x$$:

$$8(1-\sin^2 x)-12\sin x+7=0$$
$$8-8\sin^2 x-12\sin x+7=0$$
$$8\sin^2 x+12\sin x-15=0.$$

Пусть $$y=\sin x$$. Тогда

$$8y^2+12y-15=0.$$

Найдём корни:

$$D=12^2+4\cdot 8\cdot 15=624,$$
$$y=\frac{-12\pm \sqrt{624}}{16}=\frac{-12\pm 4\sqrt{39}}{16}=\frac{-3\pm \sqrt{39}}{4}.$$

Проверим допустимость значений. Корень

$$\frac{-3-\sqrt{39}}{4}<-1,$$

поэтому он не подходит. Остаётся

$$\sin x=\frac{-3+\sqrt{39}}{4}=\frac{\sqrt{39}-3}{4}.$$

Тогда общее решение:

$$x=(-1)^n\arcsin\frac{\sqrt{39}-3}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

1) Решений нет; 2) $$x=(-1)^n\arcsin\frac{\sqrt{39}-3}{4}+\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$