Упр.1234 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

2) 3sin^2 x — 5sinx -2 = 0;
3) cos^2x — 2 cosx = 0;
4) 6cos^2x + 7cosx -3 = 0.

1. $$2\sin^2 x+\sin x=0$$

   $$\sin x(2\sin x+1)=0$$

   Отсюда:

   $$\sin x=0 \quad \text{или} \quad 2\sin x+1=0.$$

   1) $$\sin x=0 \Rightarrow x=\pi n.$$

   2) $$\sin x=-\frac12 \Rightarrow x=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{6}+\pi n.$$

2. $$3\sin^2 x-5\sin x-2=0$$

   Пусть $$y=\sin x$$, тогда

   $$3y^2-5y-2=0.$$

   $$D=25+24=49,$$

   $$y_{1,2}=\frac{5\pm 7}{6}.$$

   Получаем:

   $$y_1=-\frac13,\qquad y_2=2.$$

   Значение $$\sin x=2$$ не подходит, так как $$|\sin x|\le 1.$$

   Остаётся:

   $$\sin x=-\frac13 \Rightarrow x=(-1)^{n+1}\arcsin\frac13+\pi n.$$

3. $$\cos^2 x-2\cos x=0$$

   $$\cos x(\cos x-2)=0.$$

   Отсюда:

   $$\cos x=0 \quad \text{или} \quad \cos x=2.$$

   Значение $$\cos x=2$$ невозможно, так как $$|\cos x|\le 1.$$

   Следовательно,

   $$\cos x=0 \Rightarrow x=\frac{\pi}{2}+\pi n.$$

4. $$6\cos^2 x+7\cos x-3=0$$

   Пусть $$y=\cos x$$, тогда

   $$6y^2+7y-3=0.$$

   $$D=49+72=121,$$

   $$y_{1,2}=\frac{-7\pm 11}{12}.$$

   Получаем:

   $$y_1=-\frac32,\qquad y_2=\frac13.$$

   Значение $$\cos x=-\frac32$$ не подходит, так как $$|\cos x|\le 1.$$

   Остаётся:

   $$\cos x=\frac13 \Rightarrow x=\pm \arccos\frac13+2\pi n.$$

Ответ

1) $$x=\pi n,\; x=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{6}+\pi n.$$

2) $$x=(-1)^{n+1}\arcsin\frac13+\pi n.$$

3) $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n.$$

4) $$x=\pm \arccos\frac13+2\pi n.$$