Упр.1228 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

Задача

1) (sin^2x-1/4)/v3-(sinx+cosx) > 0
2) корень четвертой степени из((7-cos4x)/2) > -2cosx
3) корень четвертой степени из((7-cos4x)/2) > -2sinx

Подробный ответ

$$\frac{\sin^2 x-\frac14}{\sqrt3-(\sin x+\cos x)}>0.$$
Чтобы дробь была положительной, числитель и знаменатель должны быть одного знака.
1) $$\sin^2 x-\frac14>0 \;\;\Longleftrightarrow\;\; \sin^2 x>\frac14 \;\;\Longleftrightarrow\;\; \cos 2x<\frac12.$$
Отсюда
$$\frac{\pi}{3}+2\pi n<2x<\frac{5\pi}{3}+2\pi n,$$
то есть
$$\frac{\pi}{6}+\pi n<x<\frac{5\pi}{6}+\pi n.$$
2) $$\sqrt3-(\sin x+\cos x)>0 \;\;\Longleftrightarrow\;\; \sin x+\cos x<\sqrt3.$$
Так как $$\sin x+\cos x=\sqrt2\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right),$$ то это неравенство выполняется при всех $$x\in\mathbb R$$, поскольку $$\sin x+\cos x\le \sqrt2<\sqrt3.$$
Значит, достаточно условия для числителя.
$$\sqrt[4]{\frac{7-\cos 4x}{2}}>-2\cos x.$$
Левая часть неотрицательна, поэтому:
если $$-2\cos x<0,$$ то неравенство верно при любых таких $$x$$;
если $$-2\cos x\ge 0,$$ то возводим в четвёртую степень:
$$\frac{7-\cos 4x}{2}>16\cos^4 x.$$
Используем формулу $$\cos 4x=8\cos^4 x-8\cos^2 x+1$$:
$$ \frac{7-(8\cos^4 x-8\cos^2 x+1)}{2}>16\cos^4 x $$
$$ 3-4\cos^4 x+4\cos^2 x>16\cos^4 x $$
$$ 20\cos^4 x-4\cos^2 x-3<0. $$
Положим $$t=\cos^2 x$$, тогда
$$20t^2-4t-3<0.$$
Корни уравнения:
$$t_1=-\frac{3}{10},\qquad t_2=\frac12.$$
С учётом $$t\in[0,1]$$ получаем
$$0\le \cos^2 x<\frac12,$$
то есть
$$\cos x<0.$$
Совмещая с условием $$-2\cos x\ge 0$$, получаем
$$\cos x<0.$$
Следовательно,
$$\frac{\pi}{2}+2\pi n<x<\frac{3\pi}{2}+2\pi n.$$
$$\sqrt[4]{\frac{7-\cos 4x}{2}}>-2\sin x.$$
Аналогично, левая часть неотрицательна. Если $$-2\sin x<0,$$ то неравенство выполняется автоматически.
Значит, достаточно рассмотреть случай $$\sin x\ge 0$$ и получить условие
$$\cos x>0.$$
Тогда
$$0<x<\frac{\pi}{2}+2\pi n \quad \text{или} \quad \frac{3\pi}{2}+2\pi n<x<2\pi+2\pi n.$$
С учётом периодичности ответ можно записать компактно:
$$-\frac{\pi}{4}+2\pi n<x<\frac{5\pi}{4}+2\pi n.$$