Упр.1227 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

Задача

1) sin^2x+2sinx > 0
2) cos^2x-cosx < =0 3) 2sin^2x-sinx-3 < 0 4) 2cos^2x-3cosx-2 > 0

Подробный ответ

Решение

$$\sin^2 x+2\sin x>0.$$
Положим $$y=\sin x.$$ Тогда
$$y^2+2y>0,$$
$$y(y+2)>0.$$
Так как $$-1\le \sin x\le 1,$$ то значение $$y<-2$$ невозможно. Остаётся
$$\sin x>0.$$
Следовательно,
$$2\pi n<x<\pi+2\pi n,\quad n\in \mathbb Z.$$
$$\cos^2 x-\cos x\le 0.$$
Положим $$y=\cos x.$$ Тогда
$$y^2-y\le 0,$$
$$y(y-1)\le 0.$$
Отсюда
$$0\le y\le 1.$$
Так как $$-1\le \cos x\le 1,$$ получаем
$$0\le \cos x\le 1.$$
Значит,
$$-\frac{\pi}{2}+2\pi n\le x\le \frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in \mathbb Z.$$
$$2\sin^2 x-\sin x-3<0.$$
Положим $$y=\sin x.$$ Тогда
$$2y^2-y-3<0.$$
Найдём корни квадратного трёхчлена:
$$D=1+24=25,$$
$$y_1=\frac{1-5}{4}=-1,\qquad y_2=\frac{1+5}{4}=\frac{3}{2}.$$
Тогда
$$\left(y+1\right)\left(y-\frac{3}{2}\right)<0,$$
откуда
$$-1<y<\frac{3}{2}.$$
С учётом $$-1\le \sin x\le 1$$ получаем, что неравенство выполняется при всех $$x$$, кроме тех, где $$\sin x=-1.$$
Следовательно,
$$x\ne -\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in \mathbb Z.$$
$$2\cos^2 x-3\cos x-2>0.$$
Положим $$y=\cos x.$$ Тогда
$$2y^2-3y-2>0.$$
Найдём корни:
$$D=9+16=25,$$
$$y_1=\frac{3-5}{4}=-\frac{1}{2},\qquad y_2=\frac{3+5}{4}=2.$$
Тогда
$$\left(y+\frac{1}{2}\right)(y-2)>0,$$
откуда
$$y<-\frac{1}{2}\quad \text{или}\quad y>2.$$
Так как $$-1\le \cos x\le 1,$$ условие $$\cos x>2$$ невозможно. Значит,
$$\cos x<-\frac{1}{2}.$$
Следовательно,
$$\frac{2\pi}{3}+2\pi n<x<\frac{4\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in \mathbb Z.$$