Упр.1226 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

1) cos(x/3+2) > =1/2
2) sin(x/4-3) < -v2/2

1. $$\cos\left(\frac{x}{3}+2\right)\ge \frac12$$

   Для косинуса имеем:

   $$-\arccos\frac12+2\pi n \le \frac{x}{3}+2 \le \arccos\frac12+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

   Так как $$\arccos\frac12=\frac{\pi}{3},$$ получаем

   $$-\frac{\pi}{3}+2\pi n \le \frac{x}{3}+2 \le \frac{\pi}{3}+2\pi n.$$

   Вычтем 2 и умножим на 3:

   $$-\frac{\pi}{3}-2+2\pi n \le \frac{x}{3} \le \frac{\pi}{3}-2+2\pi n,$$

   $$-\pi-6+6\pi n \le x \le \pi-6+6\pi n.$$

2. $$\sin\left(\frac{x}{4}-3\right)<-\frac{\sqrt2}{2}$$

   Для синуса получаем:

   $$-\pi-\arcsin\left(-\frac{\sqrt2}{2}\right)+2\pi n<\frac{x}{4}-3<\arcsin\left(-\frac{\sqrt2}{2}\right)+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

   Так как $$\arcsin\left(-\frac{\sqrt2}{2}\right)=-\frac{\pi}{4},$$ то

   $$-\pi+\frac{\pi}{4}+2\pi n<\frac{x}{4}-3<-\frac{\pi}{4}+2\pi n.$$

   Упростим и умножим на 4:

   $$-\frac{3\pi}{4}+2\pi n<\frac{x}{4}-3<-\frac{\pi}{4}+2\pi n,$$

   $$-3\pi+8\pi n

   $$-3\pi+12+8\pi n

Ответ

1) $$-\pi-6+6\pi n \le x \le \pi-6+6\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

2) $$-3\pi+12+8\pi n