Упр.1221 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

1221. 1) cosx > =v2/2;
2) cosx < v3/2 3) cosx > -v3/2
4) cosx < =-v2/2

1. $$\cos x \ge \frac{\sqrt{2}}{2}$$

   Значения косинуса не меньше $$\frac{\sqrt{2}}{2}$$ на промежутке

   $$-\arccos \frac{\sqrt{2}}{2}+2\pi n \le x \le \arccos \frac{\sqrt{2}}{2}+2\pi n.$$

   Так как $$\arccos \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\pi}{4},$$ получаем

   $$-\frac{\pi}{4}+2\pi n \le x \le \frac{\pi}{4}+2\pi n.$$

2. $$\cos x < \frac{\sqrt{3}}{2}$$

   Тогда

   $$\arccos \frac{\sqrt{3}}{2}+2\pi n < x < 2\pi-\arccos \frac{\sqrt{3}}{2}+2\pi n.$$

   Поскольку $$\arccos \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\pi}{6},$$ имеем

   $$\frac{\pi}{6}+2\pi n < x < \frac{11\pi}{6}+2\pi n.$$

3. $$\cos x > -\frac{\sqrt{3}}{2}$$

   Тогда

   $$-\arccos\!\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)+2\pi n < x < \arccos\!\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)+2\pi n.$$

   Так как $$\arccos\!\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=\frac{5\pi}{6},$$ получаем

   $$-\frac{5\pi}{6}+2\pi n < x < \frac{5\pi}{6}+2\pi n.$$

4. $$\cos x \le -\frac{\sqrt{2}}{2}$$

   Тогда

   $$\arccos\!\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)+2\pi n \le x \le 2\pi-\arccos\!\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)+2\pi n.$$

   Поскольку $$\arccos\!\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=\frac{3\pi}{4},$$ имеем

   $$\frac{3\pi}{4}+2\pi n \le x \le \frac{5\pi}{4}+2\pi n.$$

Ответ

1) $$-\frac{\pi}{4}+2\pi n \le x \le \frac{\pi}{4}+2\pi n;$$
2) $$\frac{\pi}{6}+2\pi n < x < \frac{11\pi}{6}+2\pi n;$$
3) $$-\frac{5\pi}{6}+2\pi n < x < \frac{5\pi}{6}+2\pi n;$$
4) $$\frac{3\pi}{4}+2\pi n \le x \le \frac{5\pi}{4}+2\pi n,$$ $$n \in \mathbb{Z}.$$