Упр.1220 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

1) tgx+tgy = 1,
cosxcosy=1/v2
2) tgx*tgy = 1
sinx*cosy+ctgx*tgy=1/2

1. $$\begin{cases} \tg x+\tg y=1,\\ \cos x\cos y=\dfrac{1}{\sqrt2}. \end{cases}$$

   Из первого уравнения:

   $$\frac{\sin x}{\cos x}+\frac{\sin y}{\cos y}=1,$$

   $$\frac{\sin x\cos y+\sin y\cos x}{\cos x\cos y}=1,$$

   $$\sin(x+y)=\cos x\cos y=\frac{1}{\sqrt2}=\frac{\sqrt2}{2}.$$

   Тогда

   $$x+y=\frac{\pi}{4}+2\pi n \quad \text{или} \quad x+y=\frac{3\pi}{4}+2\pi n.$$

   Используем формулу

   $$\cos(x+y)=\cos x\cos y-\sin x\sin y.$$

   Из условия $$\cos x\cos y=\frac{1}{\sqrt2}$$ и равенства $$\sin(x+y)=\frac{\sqrt2}{2}$$ получаем два случая:

   1) $$\cos(x-y)=\frac{\sqrt2}{2};$$

   2) $$\cos(x-y)=-\frac{\sqrt2}{2}.$$

   Отсюда

   $$x-y=\pm\frac{\pi}{4}+2\pi k \quad \text{или} \quad x-y=\pm\frac{3\pi}{4}+2\pi k.$$

   Решая системы для $$x$$ и $$y$$, получаем:

   $$ \begin{cases} x+y=\frac{\pi}{4}+2\pi n,\\ x-y=\frac{\pi}{4}+2\pi k \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x=\pi n+\pi k,\\ y=\frac{\pi}{4}+\pi n-\pi k; \end{cases} $$

   $$ \begin{cases} x+y=\frac{3\pi}{4}+2\pi n,\\ x-y=\frac{3\pi}{4}+2\pi k \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x=\frac{\pi}{4}+\pi n+\pi k,\\ y=\pi n-\pi k. \end{cases} $$

2. $$\begin{cases} \tg x\cdot \tg y=1,\\ \sin x\cos y+\ctg x\cdot \tg y=\dfrac12. \end{cases}$$

   Из первого уравнения:

   $$\frac{\sin x}{\cos x}\cdot\frac{\sin y}{\cos y}=1,$$

   $$\sin x\sin y=\cos x\cos y,$$

   $$\cos(x+y)=0.$$

   Значит,

   $$x+y=\frac{\pi}{2}+\pi n \quad \text{или} \quad x+y=-\frac{\pi}{2}+\pi n.$$

   Подставим во второе уравнение. Так как $$\tg x\cdot \tg y=1,$$ то $$\tg y=\frac{1}{\tg x}=\ctg x.$$ Тогда

   $$\sin x\cos y+\ctg x\cdot \tg y=\sin x\cos y+\ctg^2 x=\frac12.$$

   После преобразований получаем уравнение относительно $$\sin^2 x$$:

   $$2\sin^4 x-3\sin^2 x+2=0.$$

   Дискриминант:

   $$D=9-16=-7<0,$$

   поэтому действительных решений в этом случае нет.

   Для второго знака:

   $$2\sin^4 x+3\sin^2 x-2=0.$$

   Пусть $$t=\sin^2 x$$, тогда

   $$2t^2+3t-2=0,$$

   $$D=25,$$

   $$t_1=\frac{-3-5}{4}=-2 \quad (\text{не подходит}),$$

   $$t_2=\frac{-3+5}{4}=\frac12.$$

   Значит,

   $$\sin^2 x=\frac12,$$

   откуда

   $$\cos 2x=0,$$

   $$2x=\frac{\pi}{2}+\pi k,$$

   $$x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi k}{2}.$$

   Тогда из $$x+y=\frac{\pi}{2}+\pi n$$ получаем

   $$y=\frac{\pi}{4}-\frac{\pi k}{2}+\pi n,$$

   а из $$x+y=-\frac{\pi}{2}+\pi n$$

   $$y=-\frac{3\pi}{4}-\frac{\pi k}{2}+\pi n.$$

Ответ

1) $$\left(\pi n+\pi k;\ \frac{\pi}{4}+\pi n-\pi k\right),\ \left(\frac{\pi}{4}+\pi n+\pi k;\ \pi n-\pi k\right),\quad n,k\in\mathbb Z.$$

2) $$\left(\frac{\pi}{4}+\frac{\pi k}{2};\ \frac{\pi}{4}-\frac{\pi k}{2}+\pi n\right),\ \left(\frac{\pi}{4}+\frac{\pi k}{2};\ -\frac{3\pi}{4}-\frac{\pi k}{2}+\pi n\right),\quad n,k\in\mathbb Z.$$