Упр.1219 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

1) sinx — sin у = 1,
sin^2x + cos^2y = 1;
2) cosx+cosy =1/2
sin^2x+sin^2y=7/4
3) cos(x — y) = 2cos(x + y)
cosx*cosy = 3/4;
4) cos((x+y)/2)*cos((x-y)/2)=1/2
cosx*cosy = 1/4

1. Из первого уравнения $$\sin x-\sin y=1$$ получаем
   $$\sin x=1+\sin y.$$
   Подставим во второе:
   $$ (1+\sin y)^2+\cos^2 y=1. $$
   Раскроем скобки и используем $$\sin^2 y+\cos^2 y=1$$:
   $$ 1+2\sin y+\sin^2 y+\cos^2 y=1, $$
   $$ 2\sin y+1=0, $$
   $$ \sin y=-\frac12. $$
   Тогда
   $$ y=(-1)^{k+1}\frac{\pi}{6}+\pi k,\quad k\in\mathbb Z. $$
   Из $$\sin x=1+\sin y$$ имеем
   $$ \sin x=\frac12, $$
   значит
   $$ x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z. $$

2. Из первого уравнения
   $$ \cos x=\frac12-\cos y. $$
   Подставим во второе:
   $$ \sin^2 x+\sin^2 y=\frac74. $$
   Так как $$\sin^2 x=1-\cos^2 x$$ и $$\sin^2 y=1-\cos^2 y$$, получаем
   $$ 2-\cos^2 x-\cos^2 y=\frac74, $$
   $$ \cos^2 x+\cos^2 y=\frac14. $$
   Подставим $$\cos x=\frac12-\cos y$$:
   $$ \left(\frac12-\cos y\right)^2+\cos^2 y=\frac14, $$
   $$ \frac14-\cos y+\cos^2 y+\cos^2 y=\frac14, $$
   $$ \cos y-2\cos^2 y=0, $$
   $$ \cos y(1-2\cos y)=0. $$
   Отсюда:
   $$ \cos y=0 \quad \text{или} \quad \cos y=\frac12. $$
   1) Если $$\cos y=0$$, то $$\cos x=\frac12$$, значит
   $$ y=\frac{\pi}{2}+\pi k,\quad x=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi n. $$
   2) Если $$\cos y=\frac12$$, то $$\cos x=0$$, значит
   $$ y=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi k,\quad x=\frac{\pi}{2}+\pi n. $$

3. Используем формулу
   $$ \cos(x-y)=\cos x\cos y+\sin x\sin y. $$
   Тогда система
   $$ \begin{cases} \cos(x-y)=2\cos(x+y),\\ \cos x\cos y=\frac34 \end{cases} $$
   даёт
   $$ \cos x\cos y+\sin x\sin y=2(\cos x\cos y-\sin x\sin y). $$
   Отсюда
   $$ 3\sin x\sin y=\frac34, $$
   $$ \sin x\sin y=\frac14. $$
   Сложим и вычтем равенства
   $$ \cos x\cos y+\sin x\sin y=1, $$
   $$ \cos x\cos y-\sin x\sin y=\frac12. $$
   Тогда
   $$ \cos(x-y)=1,\qquad \cos(x+y)=\frac12. $$
   Значит
   $$ x-y=2\pi n, $$
   $$ x+y=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi k. $$
   Решая систему, получаем:
   $$ x=\pm\frac{\pi}{6}+\pi n+\pi k,\qquad y=\pm\frac{\pi}{6}-\pi n+\pi k. $$

4. Используем формулу
   $$ \cos\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2}=\frac12(\cos x+\cos y). $$
   Тогда из первого уравнения
   $$ \cos x+\cos y=1. $$
   Следовательно,
   $$ \cos y=1-\cos x. $$
   Подставим во второе:
   $$ \cos x(1-\cos x)=\frac14, $$
   $$ \cos x-\cos^2 x=\frac14, $$
   $$ 4\cos^2 x-4\cos x+1=0, $$
   $$ (2\cos x-1)^2=0. $$
   Значит,
   $$ \cos x=\frac12,\qquad \cos y=\frac12. $$
   Тогда
   $$ x=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi n,\qquad y=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi k. $$

Ответ

1) $$x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad y=(-1)^{k+1}\frac{\pi}{6}+\pi k,\quad n,k\in\mathbb Z.$$
2) $$(x,y)=\left(\pm\frac{\pi}{3}+2\pi n,\ \frac{\pi}{2}+\pi k\right),\ \left(\frac{\pi}{2}+\pi n,\ \pm\frac{\pi}{3}+2\pi k\right),\quad n,k\in\mathbb Z.$$
3) $$x=\pm\frac{\pi}{6}+\pi n+\pi k,\quad y=\pm\frac{\pi}{6}-\pi n+\pi k,\quad n,k\in\mathbb Z.$$
4) $$x=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi n,\quad y=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi k,\quad n,k\in\mathbb Z.$$