Упр.1218 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

1218.
1) cos(x+y)=0
cos(x-y)=1
2) sinx*cosy=-1/2
cosx*siny=1/2
3) sinx*cosy=1/2
cosx*siny=1/2
4) sinx*siny=v3/4
cosx*cosy=v3/4

1. $$\begin{cases} \cos(x+y)=0,\\ \cos(x-y)=1 \end{cases}$$
   Из первого уравнения:
   $$x+y=\frac{\pi}{2}+\pi n.$$
   Из второго:
   $$x-y=2\pi k.$$
   Складываем:
   $$2x=\frac{\pi}{2}+\pi n+2\pi k,$$
   $$x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2}+\pi k.$$
   Тогда
   $$y=\frac{\pi}{2}+\pi n-x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2}-\pi k.$$

   $$\left(\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2}+\pi k;\ \frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2}-\pi k\right),\quad n,k\in\mathbb Z.$$

2. $$\begin{cases} \sin x\cos y=-\frac12,\\ \cos x\sin y=\frac12 \end{cases}$$
   Складываем уравнения:
   $$\sin x\cos y+\cos x\sin y=0,$$
   $$\sin(x+y)=0,$$
   $$x+y=\pi n.$$
   Вычитаем:
   $$\sin x\cos y-\cos x\sin y=-1,$$
   $$\sin(x-y)=-1,$$
   $$x-y=-\frac{\pi}{2}+2\pi k.$$
   Решая систему, получаем:
   $$x=-\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2}+\pi k,$$
   $$y=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2}-\pi k.$$

   $$\left(-\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2}+\pi k;\ \frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2}-\pi k\right),\quad n,k\in\mathbb Z.$$

3. $$\begin{cases} \sin x\cos y=\frac12,\\ \cos x\sin y=\frac12 \end{cases}$$
   Складываем:
   $$\sin(x+y)=1,$$
   $$x+y=\frac{\pi}{2}+2\pi n.$$
   Вычитаем:
   $$\sin(x-y)=0,$$
   $$x-y=\pi k.$$
   Тогда
   $$x=\frac{\pi}{4}+\pi n+\frac{\pi k}{2},$$
   $$y=\frac{\pi}{4}+\pi n-\frac{\pi k}{2}.$$

   $$\left(\frac{\pi}{4}+\pi n+\frac{\pi k}{2};\ \frac{\pi}{4}+\pi n-\frac{\pi k}{2}\right),\quad n,k\in\mathbb Z.$$

4. $$\begin{cases} \sin x\sin y=\frac{\sqrt3}{4},\\ \cos x\cos y=\frac{\sqrt3}{4} \end{cases}$$
   Складываем:
   $$\cos(x-y)=\frac{\sqrt3}{2}.$$
   Тогда
   $$x-y=\pm\frac{\pi}{6}+2\pi n.$$

   1) Если $$x-y=\frac{\pi}{6}+2\pi n,$$ то
   $$x=\frac{\pi}{6}+\pi n+\frac{\pi k}{2},$$
   $$y=\frac{\pi}{3}-\pi n-\frac{\pi k}{2}.$$

   2) Если $$x-y=-\frac{\pi}{6}+2\pi n,$$ то
   $$x=\frac{\pi}{3}+\pi n+\frac{\pi k}{2},$$
   $$y=\frac{\pi}{6}-\pi n-\frac{\pi k}{2}.$$

   $$\left(\frac{\pi}{6}+\pi n+\frac{\pi k}{2};\ \frac{\pi}{3}-\pi n-\frac{\pi k}{2}\right),\ \left(\frac{\pi}{3}+\pi n+\frac{\pi k}{2};\ \frac{\pi}{6}-\pi n-\frac{\pi k}{2}\right),\quad n,k\in\mathbb Z.$$

Ответ

1) $$\left(\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2}+\pi k;\ \frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2}-\pi k\right),\ n,k\in\mathbb Z.$$
2) $$\left(-\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2}+\pi k;\ \frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2}-\pi k\right),\ n,k\in\mathbb Z.$$
3) $$\left(\frac{\pi}{4}+\pi n+\frac{\pi k}{2};\ \frac{\pi}{4}+\pi n-\frac{\pi k}{2}\right),\ n,k\in\mathbb Z.$$
4) $$\left(\frac{\pi}{6}+\pi n+\frac{\pi k}{2};\ \frac{\pi}{3}-\pi n-\frac{\pi k}{2}\right),\ \left(\frac{\pi}{3}+\pi n+\frac{\pi k}{2};\ \frac{\pi}{6}-\pi n-\frac{\pi k}{2}\right),\ n,k\in\mathbb Z.$$