Упр.1217 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 10 класс, Просвещение: 1217 Найти все значения а, при которых имеет корни уравнение sin^6x + cos^6x = а. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 10 kolyagin10 1217 1012

Преобразуем левую часть уравнения:

$$\sin^6 x+\cos^6 x=(\sin^2 x)^3+(\cos^2 x)^3.$$

Используем формулу суммы кубов:

$$u^3+v^3=(u+v)^3-3uv(u+v).$$

Тогда

$$\sin^6 x+\cos^6 x=(\sin^2 x+\cos^2 x)^3-3\sin^2 x\cos^2 x(\sin^2 x+\cos^2 x).$$

Так как $$\sin^2 x+\cos^2 x=1,$$ получаем

$$\sin^6 x+\cos^6 x=1-3\sin^2 x\cos^2 x.$$

Следовательно, уравнение равносильно

$$1-3\sin^2 x\cos^2 x=a.$$

Поскольку $$\sin 2x=2\sin x\cos x,$$ то

$$\sin^2 x\cos^2 x=\frac{1}{4}\sin^2 2x.$$

Тогда

$$1-\frac{3}{4}\sin^2 2x=a,$$

или

$$\sin^2 2x=\frac{4(1-a)}{3}.$$

Чтобы уравнение имело корни, необходимо и достаточно, чтобы

$$0\le \sin^2 2x\le 1.$$

Значит,

$$0\le \frac{4(1-a)}{3}\le 1.$$

Решим двойное неравенство:

$$0\le 4(1-a)\le 3,$$

$$0\le 1-a\le \frac{3}{4},$$

$$\frac{1}{4}\le a\le 1.$$

Ответ

$$a\in\left[\frac{1}{4};1\right].$$