Упр.1216 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 10 класс, Просвещение: 1216.1 Доказать, что уравнение sin5xsin7x=1 не имеет корней.

Используем формулу произведения синусов:

$$\sin 5x \sin 7x=\frac{\cos(5x-7x)-\cos(5x+7x)}{2}=\frac{\cos 2x-\cos 12x}{2}.$$

Тогда уравнение принимает вид

$$\frac{\cos 2x-\cos 12x}{2}=1,$$

или

$$\cos 2x-\cos 12x=2.$$

Но для любых $x$ выполняется

$$-1\le \cos 2x \le 1,\qquad -1\le \cos 12x \le 1,$$

значит

$$\cos 2x-\cos 12x \le 1-(-1)=2.$$

Равенство $2$ возможно только при одновременном выполнении

$$\cos 2x=1,\qquad \cos 12x=-1.$$

Из первого уравнения

$$2x=2\pi n,\qquad x=\pi n,$$

из второго

$$12x=\pi+2\pi k,\qquad x=\frac{\pi}{12}+\frac{\pi k}{6},$$

где $n,k\in \mathbb{Z}$.

Приравняем значения $x$:

$$\pi n=\frac{\pi}{12}+\frac{\pi k}{6}.$$

Умножим на $12$:

$$12n=1+2k.$$

Левая часть — чётное число, а правая — нечётное. Это невозможно. Следовательно, общих решений нет, значит исходное уравнение корней не имеет.

Ответ

Корней нет.