Упр.1215 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

Задача

Совет дня!Сайт решак.ру отлично работает на мобильных телефонах, им можно успешно пользоваться во время урока. Телефон хорошо прячется за учебником или рукавом. Или можно сказать, что забыли учебник дома, а на телефоне у вас электронный.

Подробный ответ

$$\sin\left(\frac{3\pi}{5}+x\right)=2\sin\left(\frac{\pi}{5}-\frac{x}{2}\right).$$
По формуле
$$\sin A-\sin B=2\cos\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2}$$
получаем:
$$2\sin\left(\frac{3\pi}{10}+\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{3\pi}{10}+\frac{x}{2}\right)-2\sin\left(\frac{\pi}{5}-\frac{x}{2}\right)=0.$$
После преобразования:
$$\sin\left(\frac{\pi}{5}-\frac{x}{2}\right)\left(\sin\left(\frac{3\pi}{10}+\frac{x}{2}\right)-1\right)=0.$$
Тогда
$$\sin\left(\frac{\pi}{5}-\frac{x}{2}\right)=0$$
или
$$\sin\left(\frac{3\pi}{10}+\frac{x}{2}\right)=1.$$
Отсюда:
$$\frac{\pi}{5}-\frac{x}{2}=\pi n,\quad x=\frac{2\pi}{5}+2\pi n;$$
$$\frac{3\pi}{10}+\frac{x}{2}=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad x=\frac{2\pi}{5}+4\pi n.$$
Второе множество входит в первое, поэтому
$$x=\frac{2\pi}{5}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
$$\sin x+\frac{1}{\sin x}=\sin^2 x+\frac{1}{\sin^2 x}.$$
Пусть $$y=\sin x,$$ тогда $$y\neq 0$$ и
$$y+\frac{1}{y}=y^2+\frac{1}{y^2}.$$
Умножим на $$y^2$$:
$$y^3+y=y^4+1,$$
$$y^4-y^3-y+1=0,$$
$$y^3(y-1)-(y-1)=0,$$
$$(y^3-1)(y-1)=0.$$
Отсюда
$$y=1$$
или $$y^3=1,$$ то есть снова $$y=1.$$
Значит,
$$\sin x=1,$$
поэтому
$$x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
$$\cos^2 2x+\frac{1}{\cos^2 2x}=\cos 2x+\frac{1}{\cos 2x}.$$
Обозначим $$y=\cos 2x,$$ тогда $$y\neq 0$$ и
$$y^2+\frac{1}{y^2}=y+\frac{1}{y}.$$
Умножим на $$y^2$$:
$$y^4+1=y^3+y,$$
$$y^4-y^3-y+1=0,$$
$$y^3(y-1)-(y-1)=0,$$
$$(y^3-1)(y-1)=0.$$
Получаем $$y=1$$ или $$y^3=1,$$ то есть снова $$y=1.$$
Значит,
$$\cos 2x=1,$$
откуда
$$2x=2\pi n,\quad x=\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$