Упр.1214 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

2) sinx sin5x sin17x = 1;

1. $$5\sin^4 x+3\cos^6 x=8$$

   Так как $$\sin^4 x\le 1$$ и $$\cos^6 x\le 1,$$ то

   $$5\sin^4 x\le 5,\qquad 3\cos^6 x\le 3.$$

   Следовательно,

   $$5\sin^4 x+3\cos^6 x\le 8.$$

   Равенство возможно только при $$\sin^4 x=1$$ и $$\cos^6 x=1,$$ но это одновременно невозможно. Значит, решений нет.

2. $$\sin^3 x+2\cos^5 x=\sqrt{10}$$

   Имеем

   $$\sin^3 x\le 1,\qquad 2\cos^5 x\le 2,$$

   поэтому

   $$\sin^3 x+2\cos^5 x\le 3.$$

   Но $$\sqrt{10}>3,$$ значит, решений нет.

3. $$\sin x\sin 5x\sin 17x=1$$

   Так как произведение трёх чисел, каждое из которых по модулю не превосходит 1, равно 1, то

   $$\sin x=\sin 5x=\sin 17x=1.$$

   Тогда

   $$x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$

   Проверка показывает, что при таких значениях $$x$$ действительно

   $$\sin x=\sin 5x=\sin 17x=1.$$

4. $$\cos x\cos 2x\cos 3x=1$$

   Аналогично, так как $$|\cos x|\le 1,$$ $$|\cos 2x|\le 1,$$ $$|\cos 3x|\le 1,$$ то для равенства произведения 1 необходимо

   $$\cos x=\cos 2x=\cos 3x=1.$$

   Отсюда

   $$x=2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

1) решений нет; 2) решений нет; 3) $$x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z$$; 4) $$x=2\pi n,\ n\in\mathbb Z$$.