Упр.1213 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

1) 4sin3x + sin5x — 2sinx cos2x =0
2) 6cos2x sinx + 7sin2x = 0;
3) sinx sin5x = 1;
4) sinx cos4x = -1.

1. $$4\sin 3x+\sin 5x-2\sin x\cos 2x=0$$

   Используем формулы:
   $$\sin 5x+\sin x=2\sin 3x\cos 2x,$$
   $$2\sin x\cos 2x=\sin 3x-\sin x.$$

   Тогда
   $$ 4\sin 3x+\sin 5x-2\sin x\cos 2x=0 $$
   $$ 3\sin 3x+2\sin 3x\cos 2x=0 $$
   $$ \sin 3x\,(3+2\cos 2x)=0. $$

   Отсюда
   $$ \sin 3x=0 \quad \text{или} \quad 3+2\cos 2x=0. $$
   Второе уравнение не имеет решений, так как
   $$\cos 2x=-\frac{3}{2}$$
   невозможно.

   Значит,
   $$ 3x=\pi n,\quad x=\frac{\pi n}{3},\quad n\in\mathbb Z. $$

2. $$6\cos 2x\sin x+7\sin 2x=0$$

   Так как $$\sin 2x=2\sin x\cos x,$$ получаем:
   $$ 6\cos 2x\sin x+14\sin x\cos x=0 $$
   $$ 2\sin x\,(3\cos 2x+7\cos x)=0. $$

   Тогда
   $$ \sin x=0 $$
   или
   $$ 3\cos 2x+7\cos x=0. $$

   Пусть $$y=\cos x.$$ Тогда $$\cos 2x=2y^2-1,$$ и
   $$ 3(2y^2-1)+7y=0 $$
   $$ 6y^2+7y-3=0. $$
   Решаем квадратное уравнение:
   $$ D=7^2-4\cdot 6\cdot(-3)=49+72=121, $$
   $$ y_{1,2}=\frac{-7\pm 11}{12}. $$
   Получаем
   $$ y_1=\frac13,\qquad y_2=-\frac32. $$
   Значение $$y=-\frac32$$ не подходит, так как $$\cos x\in[-1;1].$$

   Значит,
   $$ \cos x=\frac13, $$
   откуда
   $$ x=\pm \arccos\frac13+2\pi n. $$

   Также из $$\sin x=0$$ имеем
   $$ x=\pi n. $$

3. $$\sin x\sin 5x=1$$

   Так как $$|\sin x|\le 1$$ и $$|\sin 5x|\le 1,$$ произведение равно $$1$$ только в случаях:
   $$ \sin x=1,\ \sin 5x=1 $$
   или
   $$ \sin x=-1,\ \sin 5x=-1. $$

   Из $$\sin x=1$$ получаем
   $$ x=\frac{\pi}{2}+2\pi n. $$
   Эти значения удовлетворяют и условию $$\sin 5x=1$$.

   Из $$\sin x=-1$$ получаем
   $$ x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n. $$
   Эти значения также подходят.

   Следовательно,
   $$ x=\frac{\pi}{2}+\pi n. $$

4. $$\sin x\cos 4x=-1$$

   Произведение двух чисел, каждое из которых по модулю не больше 1, равно $$-1$$ только если
   $$ \sin x=-1,\ \cos 4x=1 $$
   или
   $$ \sin x=1,\ \cos 4x=-1. $$

   Если $$\sin x=-1,$$ то
   $$ x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n. $$
   При таких $$x$$ действительно
   $$ \cos 4x=\cos(-2\pi+8\pi n)=1. $$

   Если $$\sin x=1,$$ то
   $$ x=\frac{\pi}{2}+2\pi n, $$
   и тогда
   $$ \cos 4x=\cos(2\pi+8\pi n)=1, $$
   что не даёт произведение $$-1.$$ Поэтому этот случай не подходит.

   Значит,
   $$ x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n. $$

Ответ

1) $$x=\frac{\pi n}{3}$$;
2) $$x=\pi n,\ \ x=\pm \arccos\frac13+2\pi n$$;
3) $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n$$;
4) $$x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n,$$ $$n\in\mathbb Z.$$