Упр.1211 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

2) cos^2x + cos^2 2x + cos^2 3x =3/2
3) cos^2 2x + cos^2 3x + cos^2 4x + cos^2 5x = 2;
4) sin^2x + sin^2 2x = sin^2 3x + sin^2 4x.

1. $$\cos^2 x+\cos^2 2x=\cos^2 3x$$

   Используем формулу $$\cos^2 t=\dfrac{1+\cos 2t}{2}$$:
   $$\cos^2 2x+\frac{1+\cos 2x}{2}=\frac{1+\cos 6x}{2}.$$
   Тогда
   $$2\cos^2 2x+\cos 2x-\cos 6x=0.$$
   По формуле $$\cos 6x=2\cos 4x\cos 2x-1$$ и $$\cos 4x=2\cos^2 2x-1$$ получаем
   $$\cos^2 2x=-2\cos 2x+2\cos^3 2x.$$
   Обозначим $$y=\cos 2x$$. Тогда
   $$2y^3-y^2-2y=0,$$
   $$y(2y^2-y-2)=0.$$
   Отсюда
   $$y_1=0,\qquad y_{2,3}=\frac{1\pm\sqrt{17}}{4}.$$
   Значение $$\dfrac{1+\sqrt{17}}{4}>1$$ не подходит, поэтому
   $$\cos 2x=0 \quad \text{или} \quad \cos 2x=\frac{1-\sqrt{17}}{4}.$$
   Следовательно,
   $$x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2}$$
   или
   $$x=\pm \frac12 \arccos\frac{1-\sqrt{17}}{4}+\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$

2. $$\cos^2 x+\cos^2 2x+\cos^2 3x=\frac32$$

   Преобразуем:
   $$\frac{1+\cos 2x}{2}+\frac{1+\cos 4x}{2}+\frac{1+\cos 6x}{2}=\frac32.$$
   Тогда
   $$\cos 2x+\cos 4x+\cos 6x=0.$$
   Используем формулы суммы косинусов:
   $$\cos 2x+\cos 6x=2\cos 4x\cos 2x,$$
   поэтому
   $$\cos 4x(2\cos 2x+1)=0.$$
   Отсюда:
   $$\cos 4x=0 \quad \text{или} \quad \cos 2x=-\frac12.$$
   Если $$\cos 4x=0$$, то
   $$4x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\qquad x=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{4}.$$
   Если $$\cos 2x=-\frac12$$, то
   $$2x=\pm \frac{2\pi}{3}+2\pi n,\qquad x=\pm \frac{\pi}{3}+\pi n.$$

3. $$\cos^2 2x+\cos^2 3x+\cos^2 4x+\cos^2 5x=2$$

   Переходим к двойным углам:
   $$\frac{1+\cos 4x}{2}+\frac{1+\cos 6x}{2}+\frac{1+\cos 8x}{2}+\frac{1+\cos 10x}{2}=2.$$
   Получаем
   $$\cos 4x+\cos 6x+\cos 8x+\cos 10x=0.$$
   Группируем:
   $$\cos 4x+\cos 10x=2\cos 7x\cos 3x,$$
   $$\cos 6x+\cos 8x=2\cos 7x\cos x.$$
   Тогда
   $$2\cos 7x(\cos 3x+\cos x)=0,$$
   $$2\cos 7x\cdot 2\cos 2x\cos x=0.$$
   Значит,
   $$\cos 7x=0 \quad \text{или} \quad \cos 2x=0 \quad \text{или} \quad \cos x=0.$$
   Отсюда
   $$x=\frac{\pi}{14}+\frac{\pi n}{7},\qquad x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2},\qquad x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$

4. $$\sin^2 x+\sin^2 2x=\sin^2 3x+\sin^2 4x$$

   Используем формулу $$\sin^2 t=\dfrac{1-\cos 2t}{2}$$:
   $$\frac{1-\cos 2x}{2}+\frac{1-\cos 4x}{2}=\frac{1-\cos 6x}{2}+\frac{1-\cos 8x}{2}.$$
   После преобразований:
   $$\cos 8x-\cos 2x+\cos 6x-\cos 4x=0.$$
   Группируем:
   $$\cos 8x-\cos 2x=-2\sin 5x\sin 3x,$$
   $$\cos 6x-\cos 4x=-2\sin 5x\sin x.$$
   Тогда
   $$-2\sin 5x(\sin 3x+\sin x)=0.$$
   Используем формулу суммы:
   $$\sin 3x+\sin x=2\sin 2x\cos x.$$
   Получаем
   $$-2\sin 5x\cdot 2\sin 2x\cos x=0.$$
   Следовательно,
   $$\sin 5x=0 \quad \text{или} \quad \sin 2x=0 \quad \text{или} \quad \cos x=0.$$
   Отсюда
   $$x=\frac{\pi n}{5},\qquad x=\frac{\pi n}{2},\qquad x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

1) $$x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2},\ \ x=\pm \frac12 \arccos\frac{1-\sqrt{17}}{4}+\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$
2) $$x=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{4},\ \ x=\pm \frac{\pi}{3}+\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$
3) $$x=\frac{\pi}{14}+\frac{\pi n}{7},\ \ x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2},\ \ x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$
4) $$x=\frac{\pi n}{5},\ \ x=\frac{\pi n}{2},\ \ x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$