Упр.1210 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

Задача

1) cos2x + 4sin^4x = 8cos^6x;
2) cos^4x + sin^8x = 1;
3) 2sin^2x+1/4cos^3 2x = 1
4) sin^2 2x+cos^2 3x=1+4sinx

Подробный ответ

$$\cos 2x+4\sin^4x=8\cos^6x$$
$$\cos 2x+(2\sin^2x)^2=(2\cos^2x)^3$$
$$\cos 2x+(1-\cos 2x)^2=(1+\cos 2x)^3$$
Пусть $$y=\cos 2x$$. Тогда
$$y+(1-y)^2=(1+y)^3$$
$$y+1-2y+y^2=1+3y+3y^2+y^3$$
$$y^3+2y^2+4y=0$$
$$y(y^2+2y+4)=0$$
Так как у квадратного уравнения $$y^2+2y+4=0$$ дискриминант отрицателен, то
$$y=0$$
Следовательно,
$$\cos 2x=0$$
$$2x=\frac{\pi}{2}+\pi n$$
$$x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2}$$
$$\cos^4x+\sin^8x=1$$
$$\left(\cos^2x\right)^2+\left(\sin^2x\right)^4=1$$
Пусть $$y=\sin^2x$$, тогда $$\cos^2x=1-y$$. Получаем
$$\left(1-y\right)^2+y^4=1$$
$$1-2y+y^2+y^4=1$$
$$y^4+y^2-2y=0$$
$$y\left(y^3+y-2\right)=0$$
Проверим корни на отрезке $$0\le y\le 1$$:
$$y=0 \quad \text{или} \quad y=1$$
1) Если $$\sin^2x=0$$, то $$\sin x=0$$, значит
$$x=\pi n$$
2) Если $$\sin^2x=1$$, то $$\cos x=0$$, значит
$$x=\frac{\pi}{2}+\pi n$$
Оба случая можно записать как
$$x=\frac{\pi n}{2}$$
$$2\sin^2x+\frac14\cos^3 2x=1$$
$$2\sin^2x-(\cos^2x+\sin^2x)+\frac14\cos^3 2x=0$$
$$-\cos 2x+\frac14\cos^3 2x=0$$
Пусть $$y=\cos 2x$$. Тогда
$$\frac14y^3-y=0$$
$$y\left(\frac14y^2-1\right)=0$$
Отсюда
$$y=0 \quad \text{или} \quad y^2=4$$
Так как $$\cos 2x\in[-1;1]$$, то подходит только $$y=0$$.
Значит,
$$\cos 2x=0$$
$$2x=\frac{\pi}{2}+\pi n$$
$$x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2}$$
$$\sin^2 2x+\cos^2 3x=1+4\sin x$$
$$\sin^2 2x-\left(1-\sin^2 3x\right)=4\sin x$$
$$\sin^2 2x-\sin^2 3x=4\sin x$$
$$\left(\sin 2x+\sin 3x\right)\left(\sin 2x-\sin 3x\right)=4\sin x$$
$$2\sin\frac{5x}{2}\cos\frac{x}{2}\cdot 2\cos\frac{5x}{2}\sin\left(-\frac{x}{2}\right)=4\sin x$$
$$-\sin x\sin 5x=4\sin x$$
$$\sin x\left(\sin 5x+4\right)=0$$
Так как $$\sin 5x\in[-1;1]$$, то уравнение $$\sin 5x+4=0$$ решений не имеет.
Следовательно,
$$\sin x=0$$
$$x=\pi n$$