Упр.1209 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

2) 1 + cos^2x = sin^4x.

1. $$4\sin x\cos x\cos 2x=\sin^2 4x.$$

   Используем формулу $$\sin 2x=2\sin x\cos x$$:

   $$2\sin 2x\cos 2x=\sin^2 4x.$$

   Так как $$2\sin 2x\cos 2x=\sin 4x,$$ получаем:

   $$\sin 4x=\sin^2 4x.$$

   Обозначим $$t=\sin 4x$$. Тогда

   $$t=t^2,$$
   $$t^2-t=0,$$
   $$t(t-1)=0.$$

   Отсюда:

   $$\sin 4x=0 \quad \text{или} \quad \sin 4x=1.$$

   1) $$\sin 4x=0 \Rightarrow 4x=\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi n}{4}, \quad n\in\mathbb Z.$$

   2) $$\sin 4x=1 \Rightarrow 4x=\frac{\pi}{2}+2\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{2}, \quad n\in\mathbb Z.$$

2. $$1+\cos^2 x=\sin^4 x.$$

   Перенесём всё в одну сторону и выразим через $$\sin^2 x$$:

   $$1-\sin^4 x+\cos^2 x=0,$$
   $$\left(1-\sin^2 x\right)\left(1+\sin^2 x\right)+\cos^2 x=0,$$
   $$\cos^2 x\left(1+\sin^2 x\right)+\cos^2 x=0,$$
   $$\cos^2 x\left(\sin^2 x+2\right)=0.$$

   Тогда:

   $$\cos^2 x=0 \quad \text{или} \quad \sin^2 x+2=0.$$

   Второе уравнение решений не имеет, так как $$\sin^2 x\ge 0$$.

   Значит,

   $$\cos x=0 \Rightarrow x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

1) $$x=\frac{\pi n}{4}$$ или $$x=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{2},\ n\in\mathbb Z.$$
2) $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$