Упр.1208 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

2) v2cos(x — пи/4)= (sinx + cosx)^2;
3) 1 + cosx = ctg x/2;
4) sinx + tg x/2 = 0.

1. $$1-\cos(\pi-x)+\sin\left(\frac{\pi}{2}+\frac{x}{2}\right)=0$$

   Используем формулы:
   $$\cos(\pi-x)=-\cos x,\qquad \sin\left(\frac{\pi}{2}+\frac{x}{2}\right)=\cos\frac{x}{2}.$$

   Тогда
   $$1+\cos x+\cos\frac{x}{2}=0.$$
   Так как
   $$1+\cos x=2\cos^2\frac{x}{2},$$
   получаем
   $$2\cos^2\frac{x}{2}+\cos\frac{x}{2}=0,$$
   $$\cos\frac{x}{2}\left(2\cos\frac{x}{2}+1\right)=0.$$

   Отсюда:
   $$\cos\frac{x}{2}=0 \quad \text{или} \quad \cos\frac{x}{2}=-\frac12.$$

   1) $$\cos\frac{x}{2}=0 \Rightarrow \frac{x}{2}=\frac{\pi}{2}+\pi n \Rightarrow x=\pi+2\pi n.$$

   2) $$\cos\frac{x}{2}=-\frac12 \Rightarrow \frac{x}{2}=\pm\frac{2\pi}{3}+2\pi n \Rightarrow x=\pm\frac{4\pi}{3}+4\pi n.$$

2. $$\sqrt2\cos\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=(\sin x+\cos x)^2$$

   Раскроем левую часть:
   $$\sqrt2\left(\cos x\cos\frac{\pi}{4}+\sin x\sin\frac{\pi}{4}\right)=(\sin x+\cos x)^2.$$
   Так как
   $$\cos\frac{\pi}{4}=\sin\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt2}{2},$$
   то
   $$\cos x+\sin x=(\sin x+\cos x)^2.$$

   Обозначим $$t=\sin x+\cos x.$$ Тогда
   $$t=t^2,$$
   $$t(t-1)=0.$$
   Значит,
   $$\sin x+\cos x=0 \quad \text{или} \quad \sin x+\cos x=1.$$

   1) $$\sin x+\cos x=0 \Rightarrow \tan x=-1 \Rightarrow x=-\frac{\pi}{4}+\pi n.$$

   2) $$\sin x+\cos x=1 \Rightarrow \sqrt2\cos\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=1,$$
   $$\cos\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt2}{2}.$$
   Тогда
   $$x-\frac{\pi}{4}=\pm\frac{\pi}{4}+2\pi n,$$
   откуда
   $$x=2\pi n \quad \text{или} \quad x=\frac{\pi}{2}+2\pi n.$$

3. $$1+\cos x=\ctg\frac{x}{2}$$

   Используем формулу
   $$\ctg\frac{x}{2}=\frac{1+\cos x}{\sin x}.$$
   Тогда
   $$1+\cos x=\frac{1+\cos x}{\sin x}.$$

   Умножим на $$\sin x$$:
   $$\sin x(1+\cos x)=1+\cos x.$$
   Переносим в одну сторону:
   $$ (1+\cos x)(\sin x-1)=0.$$

   Отсюда:
   $$1+\cos x=0 \quad \text{или} \quad \sin x=1.$$

   1) $$1+\cos x=0 \Rightarrow \cos x=-1 \Rightarrow x=\pi+2\pi n.$$

   2) $$\sin x=1 \Rightarrow x=\frac{\pi}{2}+2\pi n.$$

4. $$\sin x+\tg\frac{x}{2}=0$$

   Выразим через $$\sin\frac{x}{2}$$ и $$\cos\frac{x}{2}$$:
   $$2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}+\frac{\sin\frac{x}{2}}{\cos\frac{x}{2}}=0.$$
   Умножим на $$\cos\frac{x}{2}$$:
   $$2\sin\frac{x}{2}\cos^2\frac{x}{2}+\sin\frac{x}{2}=0,$$
   $$\sin\frac{x}{2}\left(2\cos^2\frac{x}{2}+1\right)=0.$$

   Так как
   $$2\cos^2\frac{x}{2}+1>0,$$
   то
   $$\sin\frac{x}{2}=0.$$
   Следовательно,
   $$\frac{x}{2}=\pi n,\qquad x=2\pi n.$$

Ответ

1) $$x=\pi+2\pi n,\ \pm\frac{4\pi}{3}+4\pi n,\ n\in\mathbb Z$$

2) $$x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\ 2\pi n,\ \frac{\pi}{2}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z$$

3) $$x=\pi+2\pi n,\ \frac{\pi}{2}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z$$

4) $$x=2\pi n,\ n\in\mathbb Z$$