Упр.1206 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

Задача

1) 2sin^2x=1+1/3sin4x
2) 2cos^2x-1=sin4x
3) 2cos^2 2x+3cos^2x=2
4) (sinx+cosx)^2=1+cosx

Подробный ответ

$$2\sin^2 x=1+\frac13\sin 4x$$
Используем формулы $$2\sin^2 x=1-\cos 2x$$ и $$\sin 4x=2\sin 2x\cos 2x$$:
$$1-\cos 2x=1+\frac13\cdot 2\sin 2x\cos 2x$$
$$-\cos 2x-\frac23\sin 2x\cos 2x=0$$
$$\cos 2x\left(1+\frac23\sin 2x\right)=0$$
Отсюда:
$$\cos 2x=0 \quad \text{или} \quad 1+\frac23\sin 2x=0.$$
Во втором случае $$\sin 2x=-\frac32,$$ что невозможно, так как $$|\sin 2x|\le 1.$$
Значит,
$$\cos 2x=0,$$
$$2x=\frac{\pi}{2}+\pi n,$$
$$x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2}, \quad n\in\mathbb Z.$$
$$2\cos^2 2x-1=\sin 4x$$
Так как $$2\cos^2 2x-1=\cos 4x,$$ получаем:
$$\cos 4x=\sin 4x$$
$$\cos 4x-\sin 4x=0$$
$$\cos 4x\,(1-\tan 4x)=0.$$
Рассмотрим два случая:
1) $$\cos 4x=0,$$ тогда
$$4x=\frac{\pi}{2}+\pi n,$$
$$x=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{4}.$$
2) $$\tan 4x=1,$$ тогда
$$4x=\frac{\pi}{4}+\pi n,$$
$$x=\frac{\pi}{16}+\frac{\pi n}{4}.$$
$$2\cos^2 2x+3\cos^2 x=2$$
Положим $$y=\cos 2x.$$ Тогда $$\cos^2 x=\frac{1+\cos 2x}{2}=\frac{1+y}{2},$$ и уравнение примет вид:
$$2y^2+3\cdot \frac{1+y}{2}=2$$
$$4y^2+3y-1=0.$$
Найдём корни:
$$D=3^2-4\cdot 4\cdot(-1)=25,$$
$$y_{1,2}=\frac{-3\pm 5}{8}.$$
Отсюда
$$y_1=\frac14,\qquad y_2=-1.$$
Значит,
$$\cos 2x=\frac14 \quad \text{или} \quad \cos 2x=-1.$$
1) $$\cos 2x=-1,$$ тогда
$$2x=\pi+2\pi n,$$
$$x=\frac{\pi}{2}+\pi n.$$
2) $$\cos 2x=\frac14,$$ тогда
$$2x=\pm \arccos \frac14+2\pi n,$$
$$x=\pm \frac12\arccos \frac14+\pi n.$$
$$\left(\sin x+\cos x\right)^2=1+\cos x$$
Раскроем скобки:
$$\sin^2 x+\cos^2 x+2\sin x\cos x=1+\cos x$$
$$1+2\sin x\cos x=1+\cos x$$
$$2\sin x\cos x-\cos x=0$$
$$\cos x\,(2\sin x-1)=0.$$
Отсюда:
1) $$\cos x=0,$$ тогда
$$x=\frac{\pi}{2}+\pi n.$$
2) $$2\sin x-1=0,$$ тогда
$$\sin x=\frac12,$$
$$x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n.$$