Упр.1205 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

1) v3 sinx cosx =sin^2x
2) 2sinx cosx = cosx;
3) sin4x + sin^2 2x = 0
4) sin2x + 2cos^2x = 0.

1. $$\sqrt{3}\sin x\cos x=\sin^2 x$$
   $$\sqrt{3}\sin x\cos x-\sin^2 x=0$$
   $$\sin x(\sqrt{3}\cos x-\sin x)=0$$
   Отсюда:
   $$\sin x=0 \quad \text{или} \quad \sqrt{3}\cos x-\sin x=0.$$
   Тогда
   $$x=\pi n$$
   или
   $$\tan x=\sqrt{3}, \quad x=\frac{\pi}{3}+\pi n.$$
2. $$2\sin x\cos x=\cos x$$
   $$2\sin x\cos x-\cos x=0$$
   $$\cos x(2\sin x-1)=0$$
   Отсюда:
   $$\cos x=0 \quad \text{или} \quad 2\sin x-1=0.$$
   Тогда
   $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n$$
   или
   $$\sin x=\frac12,\quad x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n.$$
3. $$\sin 4x+\sin^2 2x=0$$
   $$2\sin 2x\cos 2x+\sin^2 2x=0$$
   $$\sin 2x(2\cos 2x+\sin 2x)=0$$
   Отсюда:
   $$\sin 2x=0 \quad \text{или} \quad 2\cos 2x+\sin 2x=0.$$
   Тогда
   $$2x=\pi n,\quad x=\frac{\pi n}{2}$$
   или
   $$\tan 2x=-2,\quad 2x=-\arctan 2+\pi n,$$
   $$x=-\frac12\arctan 2+\frac{\pi n}{2}.$$
4. $$\sin 2x+2\cos^2 x=0$$
   $$2\sin x\cos x+2\cos^2 x=0$$
   $$2\cos x(\sin x+\cos x)=0$$
   Отсюда:
   $$\cos x=0 \quad \text{или} \quad \sin x+\cos x=0.$$
   Тогда
   $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n$$
   или
   $$\tan x=-1,\quad x=-\frac{\pi}{4}+\pi n.$$
   Так как
   $$-\frac{\pi}{4}+\pi n=\frac{3\pi}{4}+\pi n,$$
   можно записать ответ и так:
   $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad x=\frac{3\pi}{4}+\pi n.$$

Ответ

1) $$x=\pi n,\ \frac{\pi}{3}+\pi n$$

2) $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\ (-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n$$

3) $$x=\frac{\pi n}{2},\ -\frac12\arctan 2+\frac{\pi n}{2}$$

4) $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\ \frac{3\pi}{4}+\pi n$$

$$n\in\mathbb{Z}$$