Упр.1204 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

2) sin7x — sinx = cos4x;
3)cos3x + cos3x = 4cos2x;
4) sin^2х — cos^2x = cos4x.

1. $$\cos 3x-\cos 5x=\sin 4x$$

   Используем формулу разности косинусов:
   $$\cos A-\cos B=-2\sin \frac{A+B}{2}\sin \frac{A-B}{2}$$

   Тогда
   $$ \cos 3x-\cos 5x=-2\sin 4x\sin(-x)=2\sin 4x\sin x. $$
   Получаем
   $$ 2\sin 4x\sin x=\sin 4x, $$
   $$ \sin 4x\,(2\sin x-1)=0. $$

   Отсюда:
   $$ \sin 4x=0 \quad \text{или} \quad 2\sin x-1=0. $$
   Тогда
   $$ 4x=\pi n \quad \Rightarrow \quad x=\frac{\pi n}{4}, $$
   или
   $$ \sin x=\frac12 \quad \Rightarrow \quad x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z. $$

2. $$\sin 7x-\sin x=\cos 4x$$

   Применим формулу разности синусов:
   $$\sin A-\sin B=2\cos \frac{A+B}{2}\sin \frac{A-B}{2}$$

   Тогда
   $$ \sin 7x-\sin x=2\cos 4x\sin 3x. $$
   Получаем
   $$ 2\cos 4x\sin 3x=\cos 4x, $$
   $$ \cos 4x\,(2\sin 3x-1)=0. $$

   Отсюда:
   $$ \cos 4x=0 \quad \text{или} \quad 2\sin 3x-1=0. $$
   Значит,
   $$ 4x=\frac{\pi}{2}+\pi n \quad \Rightarrow \quad x=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{4}, $$
   или
   $$ \sin 3x=\frac12 \quad \Rightarrow \quad 3x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n, $$
   $$ x=(-1)^n\frac{\pi}{18}+\frac{\pi n}{3},\quad n\in\mathbb Z. $$

3. $$\cos x+\cos 3x=4\cos 2x$$

   Используем формулу суммы косинусов:
   $$\cos A+\cos B=2\cos \frac{A+B}{2}\cos \frac{A-B}{2}$$

   Тогда
   $$ \cos x+\cos 3x=2\cos 2x\cos x. $$
   Получаем
   $$ 2\cos 2x\cos x=4\cos 2x, $$
   $$ 2\cos 2x(\cos x-2)=0. $$

   Так как $$\cos x-2\neq 0$$ при любых $$x,$$ остаётся
   $$ \cos 2x=0. $$
   Тогда
   $$ 2x=\frac{\pi}{2}+\pi n \quad \Rightarrow \quad x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z. $$

4. $$\sin^2 x-\cos^2 x=\cos 4x$$

   Преобразуем левую часть:
   $$ \sin^2 x-\cos^2 x=-(\cos^2 x-\sin^2 x)=-\cos 2x. $$
   Тогда
   $$ -\cos 2x=\cos 4x. $$

   Используем формулу
   $$ \cos 4x=2\cos^2 2x-1. $$
   Получаем
   $$ -\cos 2x=2\cos^2 2x-1, $$
   $$ 2\cos^2 2x+\cos 2x-1=0. $$

   Пусть $$y=\cos 2x.$$ Тогда
   $$ 2y^2+y-1=0, $$
   $$ (2y-1)(y+1)=0. $$
   Значит,
   $$ y=\frac12 \quad \text{или} \quad y=-1. $$

   1) Если $$\cos 2x=-1,$$ то
   $$ 2x=\pi+2\pi n \quad \Rightarrow \quad x=\frac{\pi}{2}+\pi n. $$

   2) Если $$\cos 2x=\frac12,$$ то
   $$ 2x=\pm \frac{\pi}{3}+2\pi n \quad \Rightarrow \quad x=\pm \frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z. $$

Ответ

1) $$x=\frac{\pi n}{4},\; x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$
2) $$x=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{4},\; x=(-1)^n\frac{\pi}{18}+\frac{\pi n}{3},\; n\in\mathbb Z.$$
3) $$x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2},\; n\in\mathbb Z.$$
4) $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\; x=\pm \frac{\pi}{6}+\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$