Упр.1203 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

1203. 1) cosx = cos3x;
2) sin5x = sinx;
3) sin2x = cos3x;
4) sinx + cos3x = 0.

1. $$\cos x=\cos 3x$$

   $$\cos 3x-\cos x=0$$

   $$-2\sin\frac{3x+x}{2}\sin\frac{3x-x}{2}=0$$

   $$-2\sin 2x\sin x=0$$

   Отсюда:

   $$\sin 2x=0 \quad \text{или} \quad \sin x=0$$

   $$2x=\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi n}{2}$$

   $$x=\pi n$$

   Так как $$x=\pi n$$ входит в множество $$x=\frac{\pi n}{2}$$, то

   $$x=\frac{\pi n}{2}, \quad n\in\mathbb Z.$$

2. $$\sin 5x=\sin x$$

   $$\sin 5x-\sin x=0$$

   $$2\sin\frac{5x-x}{2}\cos\frac{5x+x}{2}=0$$

   $$2\sin 2x\cos 3x=0$$

   Отсюда:

   $$\sin 2x=0 \quad \text{или} \quad \cos 3x=0$$

   $$2x=\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi n}{2}$$

   $$3x=\frac{\pi}{2}+\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi}{6}+\frac{\pi n}{3}$$

   Ответ:

   $$x=\frac{\pi n}{2}, \quad x=\frac{\pi}{6}+\frac{\pi n}{3}, \quad n\in\mathbb Z.$$

3. $$\sin 2x=\cos 3x$$

   $$\cos 3x-\sin 2x=0$$

   $$\cos 3x-\cos\left(\frac{\pi}{2}+2x-\frac{\pi}{2}\right)=0$$

   $$\cos 3x-\cos\left(2x-\frac{\pi}{2}\right)=0$$

   $$-2\sin\frac{3x+2x-\frac{\pi}{2}}{2}\sin\frac{3x-2x+\frac{\pi}{2}}{2}=0$$

   $$\sin\left(\frac{5x}{2}-\frac{\pi}{4}\right)\sin\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{4}\right)=0$$

   Отсюда:

   $$\sin\left(\frac{5x}{2}-\frac{\pi}{4}\right)=0 \quad \text{или} \quad \sin\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{4}\right)=0$$

   $$\frac{5x}{2}-\frac{\pi}{4}=\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi}{10}+\frac{2\pi n}{5}$$

   $$\frac{x}{2}+\frac{\pi}{4}=\pi n \Rightarrow x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n$$

   Ответ:

   $$x=\frac{\pi}{10}+\frac{2\pi n}{5}, \quad x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n, \quad n\in\mathbb Z.$$

4. $$\sin x+\cos 3x=0$$

   $$\cos 3x+\sin\left(\frac{\pi}{2}+x-\frac{\pi}{2}\right)=0$$

   $$\cos 3x+\cos\left(x-\frac{\pi}{2}\right)=0$$

   $$2\cos\frac{3x+x-\frac{\pi}{2}}{2}\cos\frac{3x-x+\frac{\pi}{2}}{2}=0$$

   $$\cos\left(2x-\frac{\pi}{4}\right)\cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=0$$

   Отсюда:

   $$\cos\left(2x-\frac{\pi}{4}\right)=0 \quad \text{или} \quad \cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=0$$

   $$2x-\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{2}+\pi n \Rightarrow x=\frac{3\pi}{8}+\frac{\pi n}{2}$$

   $$x+\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{2}+\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi}{4}+\pi n$$

   Ответ:

   $$x=\frac{3\pi}{8}+\frac{\pi n}{2}, \quad x=\frac{\pi}{4}+\pi n, \quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

1) $$x=\frac{\pi n}{2}$$; 2) $$x=\frac{\pi n}{2},\ \frac{\pi}{6}+\frac{\pi n}{3}$$; 3) $$x=\frac{\pi}{10}+\frac{2\pi n}{5},\ -\frac{\pi}{2}+2\pi n$$; 4) $$x=\frac{3\pi}{8}+\frac{\pi n}{2},\ \frac{\pi}{4}+\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$