Упр.1202 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 10 класс, Просвещение: 1202.Найти все значения а, при которых имеет решение уравнение (a^2 + 2)sin^2x — 4asinx cosx = а^2 + 3. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 10 kolyagin10 1202 1012

Преобразуем уравнение, используя тождество $$\sin^2 x+\cos^2 x=1$$:

$$ (a^2+2)\sin^2 x-4a\sin x\cos x=a^2+3 $$

$$ (a^2+2)\sin^2 x-4a\sin x\cos x-(a^2+3)(\sin^2 x+\cos^2 x)=0 $$

$$ -\sin^2 x-4a\sin x\cos x-(a^2+3)\cos^2 x=0 $$

Умножим на $$-1$$:

$$ \sin^2 x+4a\sin x\cos x+(a^2+3)\cos^2 x=0 $$

Если $$\cos x=0$$, то левая часть равна $$\sin^2 x=1$$, что невозможно. Значит, $$\cos x\neq 0$$, и можно разделить на $$\cos^2 x$$:

$$ \tan^2 x+4a\tan x+(a^2+3)=0 $$

Обозначим $$t=\tan x$$. Тогда получаем квадратное уравнение:

$$ t^2+4at+(a^2+3)=0 $$

Чтобы оно имело действительные корни, дискриминант должен быть неотрицательным:

$$ D=(4a)^2-4(a^2+3)=16a^2-4a^2-12=12a^2-12=12(a^2-1) $$

$$ D\ge 0 \iff a^2-1\ge 0 \iff a\le -1 \text{ или } a\ge 1 $$

При этих значениях $$a$$ уравнение имеет решение.

Ответ

$$(-\infty;\,-1]\cup[1;\,+\infty)$$