Упр.1201 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

1. Найти все $$a$$, при которых имеет корни уравнение:
   1) $$a\sin x+(1+a)\cos x=\sqrt{5};$$
   2) $$a\cos x+(1-a)\sin x=\sqrt{5}.$$

1) Преобразуем левую часть к виду одной тригонометрической функции:

$$a\sin x+(1+a)\cos x=\sqrt{a^2+(1+a)^2}\,\sin(x+\varphi),$$

где

$$\sqrt{a^2+(1+a)^2}=\sqrt{2a^2+2a+1}.$$

Тогда уравнение равносильно

$$\sin(x+\varphi)=\frac{\sqrt5}{\sqrt{2a^2+2a+1}}.$$

Чтобы уравнение имело корни, нужно, чтобы правая часть принадлежала отрезку $$[-1;1]$$. Так как она неотрицательна, достаточно условия

$$\frac{\sqrt5}{\sqrt{2a^2+2a+1}}\le 1.$$

Отсюда

$$\sqrt5\le \sqrt{2a^2+2a+1},$$

$$5\le 2a^2+2a+1,$$

$$2a^2+2a-4\ge 0,$$

$$a^2+a-2\ge 0,$$

$$(a+2)(a-1)\ge 0.$$

Следовательно,

$$a\in(-\infty;-2]\cup[1;+\infty).$$

2) Аналогично:

$$a\cos x+(1-a)\sin x=\sqrt{a^2+(1-a)^2}\,\sin(x+\varphi),$$

где

$$\sqrt{a^2+(1-a)^2}=\sqrt{2a^2-2a+1}.$$

Получаем

$$\sin(x+\varphi)=\frac{\sqrt5}{\sqrt{2a^2-2a+1}}.$$

Для существования корней нужно

$$\frac{\sqrt5}{\sqrt{2a^2-2a+1}}\le 1.$$

Тогда

$$5\le 2a^2-2a+1,$$

$$2a^2-2a-4\ge 0,$$

$$a^2-a-2\ge 0,$$

$$(a+1)(a-2)\ge 0.$$

Значит,

$$a\in(-\infty;-1]\cup[2;+\infty).$$

Ответ

1) $$a\in(-\infty;-2]\cup[1;+\infty).$$

2) $$a\in(-\infty;-1]\cup[2;+\infty).$$