Упр.1200 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

2) sin^3x — sin^2x cosx + 2cos^3x = 0.

1) $$\sin^3 x+\sin^2 x\cos x=2\cos^3 x.$$

Если $$\cos x=0,$$ то левая часть равна $$\sin^3 x=\pm 1,$$ а правая часть равна $$0,$$ значит, таких решений нет. Поэтому можно разделить уравнение на $$\cos^3 x$$:

$$\tg^3 x+\tg^2 x=2.$$

Пусть $$y=\tg x.$$ Тогда

$$y^3+y^2-2=0,$$

$$y^3+2y^2+2y-y^2-2y-2=0,$$

$$y(y^2+2y+2)-(y^2+2y+2)=0,$$

$$ (y-1)(y^2+2y+2)=0.$$

Так как $$y^2+2y+2=(y+1)^2+1>0,$$ то

$$y-1=0,\quad y=1.$$

Возвращаемся к замене:

$$\tg x=1,$$

$$x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

2) $$\sin^3 x-\sin^2 x\cos x+2\cos^3 x=0.$$

Если $$\cos x=0,$$ то левая часть равна $$\sin^3 x=\pm 1,$$ значит, решений нет. Делим уравнение на $$\cos^3 x$$:

$$\tg^3 x-\tg^2 x+2=0.$$

Пусть $$y=\tg x.$$ Тогда

$$y^3-y^2+2=0,$$

$$y^3-2y^2+2y+y^2-2y+2=0,$$

$$y(y^2-2y+2)+(y^2-2y+2)=0,$$

$$ (y+1)(y^2-2y+2)=0.$$

Так как $$y^2-2y+2=(y-1)^2+1>0,$$ то

$$y+1=0,\quad y=-1.$$

Возвращаемся к замене:

$$\tg x=-1,$$

$$x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

1) $$x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$

2) $$x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$