Упр.1199 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

2) 16cos^4x + sin^2x = 7/4

1. $$4\sin^4 x+\frac13\cos^2 x=\frac12$$

   Заменим $$\cos^2 x=1-\sin^2 x$$:

   $$4\sin^4 x+\frac13(1-\sin^2 x)-\frac12=0$$

   $$4\sin^4 x-\frac13\sin^2 x-\frac16=0$$

   Пусть $$y=\sin^2 x$$, тогда

   $$4y^2-\frac13y-\frac16=0$$

   $$24y^2-2y-1=0$$

   $$D=(-2)^2-4\cdot 24\cdot(-1)=100$$

   $$y_{1,2}=\frac{2\pm 10}{48}$$

   $$y_1=-\frac16,\quad y_2=\frac14$$

   Так как $$\sin^2 x\ge 0$$, значение $$y_1=-\frac16$$ не подходит. Тогда

   $$\sin^2 x=\frac14$$

   $$\sin x=\pm \frac12$$

   Отсюда

   $$x=\pm \frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

2. $$16\cos^4 x+\sin^2 x=\frac74$$

   Заменим $$\sin^2 x=1-\cos^2 x$$:

   $$16\cos^4 x+1-\cos^2 x-\frac74=0$$

   $$16\cos^4 x-\cos^2 x-\frac34=0$$

   Пусть $$y=\cos^2 x$$, тогда

   $$16y^2-y-\frac34=0$$

   $$64y^2-4y-3=0$$

   $$D=(-4)^2-4\cdot 64\cdot(-3)=784$$

   $$y_{1,2}=\frac{4\pm 28}{128}$$

   $$y_1=-\frac{3}{16},\quad y_2=\frac14$$

   Так как $$\cos^2 x\ge 0$$, значение $$y_1=-\frac{3}{16}$$ не подходит. Тогда

   $$\cos^2 x=\frac14$$

   $$\cos x=\pm \frac12$$

   Следовательно,

   $$x=\pm \frac{\pi}{3}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

Ответ

1) $$x=\pm \frac{\pi}{6}+\pi n,\ n\in\mathbb Z$$; 2) $$x=\pm \frac{\pi}{3}+\pi n,\ n\in\mathbb Z$$.