Упр.1198 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

2) 8sin^3x + 4cos^2x = 1 + 6sinx;

1. $$4\cos^3 x+4\sin^2 x=1+3\cos x$$

   $$4\cos^3 x+4(1-\cos^2 x)=1+3\cos x$$

   $$4\cos^3 x-4\cos^2 x-3\cos x+3=0$$

   $$4\cos^2 x(\cos x-1)-3(\cos x-1)=0$$

   $$(4\cos^2 x-3)(\cos x-1)=0$$

   Тогда
   $$4\cos^2 x-3=0 \quad \text{или} \quad \cos x-1=0.$$

   1) $$4\cos^2 x=3,$$
   $$\cos^2 x=\frac34,$$
   $$\cos 2x=\frac12,$$
   $$2x=\pm \frac{\pi}{3}+2\pi n,$$
   $$x=\pm \frac{\pi}{6}+\pi n.$$

   2) $$\cos x=1,$$
   $$x=2\pi n.$$

2. $$8\sin^3 x+4\cos^2 x=1+6\sin x$$

   $$8\sin^3 x+4(1-\sin^2 x)=1+6\sin x$$

   $$8\sin^3 x-4\sin^2 x-6\sin x+3=0$$

   $$4\sin^2 x(2\sin x-1)-3(2\sin x-1)=0$$

   $$(4\sin^2 x-3)(2\sin x-1)=0$$

   Тогда
   $$4\sin^2 x-3=0 \quad \text{или} \quad 2\sin x-1=0.$$

   1) $$4\sin^2 x=3,$$
   $$\sin^2 x=\frac34,$$
   $$\cos 2x=-\frac12,$$
   $$2x=\pm \frac{2\pi}{3}+2\pi n,$$
   $$x=\pm \frac{\pi}{3}+\pi n.$$

   2) $$2\sin x=1,$$
   $$\sin x=\frac12,$$
   $$x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n.$$

3. $$\frac{1}{\cos^2 x}=3+\tg x$$

   $$1+\tg^2 x=3+\tg x$$

   $$\tg^2 x-\tg x-2=0$$

   Пусть $$y=\tg x$$, тогда
   $$y^2-y-2=0,$$
   $$(y-2)(y+1)=0.$$

   Значит,
   $$\tg x=2 \quad \text{или} \quad \tg x=-1.$$

   $$x=\arctg 2+\pi n,$$
   $$x=-\frac{\pi}{4}+\pi n.$$

4. $$\frac{2}{\sin^2 2x}=\ctg 2x+5$$

   $$2(1+\ctg^2 2x)=\ctg 2x+5$$

   $$2\ctg^2 2x-\ctg 2x-3=0$$

   Пусть $$y=\ctg 2x$$, тогда
   $$2y^2-y-3=0,$$
   $$(2y-3)(y+1)=0.$$

   Значит,
   $$\ctg 2x=\frac32 \quad \text{или} \quad \ctg 2x=-1.$$

   1) $$\ctg 2x=\frac32,$$
   $$2x=\arcctg \frac32+\pi n,$$
   $$x=\frac12\arcctg \frac32+\frac{\pi n}{2}.$$

   2) $$\ctg 2x=-1,$$
   $$2x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,$$
   $$x=-\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{2}.$$

Ответ

1) $$x=\pm \frac{\pi}{6}+\pi n,\; 2\pi n.$$
2) $$x=\pm \frac{\pi}{3}+\pi n,\; (-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n.$$
3) $$x=\arctg 2+\pi n,\; -\frac{\pi}{4}+\pi n.$$
4) $$x=\frac12\arcctg \frac32+\frac{\pi n}{2},\; -\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{2},\; n\in\mathbb{Z}.$$