Упр.1197 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

2) sin3x + cos3x = v2;
3) 1Osin^2x + 5sinx cosx + cos^2x = 3;
4) 6sin^2 2x + 4cos^2 2x — 8sin2xcos2x = 1

1. $$\sin x+\cos x=1$$

   Представим левую часть в виде одной тригонометрической функции:

   $$\sin x+\cos x=\sqrt{2}\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right).$$

   Тогда

   $$\sqrt{2}\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=1,$$

   $$\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}.$$

   Отсюда

   $$x+\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{4}+2\pi n \quad \text{или} \quad x+\frac{\pi}{4}=\frac{3\pi}{4}+2\pi n.$$

   Следовательно,

   $$x=2\pi n \quad \text{или} \quad x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

2. $$\sin 3x+\cos 3x=\sqrt{2}$$

   Аналогично:

   $$\sin 3x+\cos 3x=\sqrt{2}\sin\left(3x+\frac{\pi}{4}\right).$$

   Тогда

   $$\sqrt{2}\sin\left(3x+\frac{\pi}{4}\right)=\sqrt{2},$$

   $$\sin\left(3x+\frac{\pi}{4}\right)=1.$$

   Значит,

   $$3x+\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{2}+2\pi n,$$

   $$3x=\frac{\pi}{4}+2\pi n,$$

   $$x=\frac{\pi}{12}+\frac{2\pi n}{3},\quad n\in\mathbb{Z}.$$

3. $$10\sin^2 x+5\sin x\cos x+\cos^2 x=3$$

   Перенесём всё в одну сторону и выразим через $$\tan x$$:

   $$10\sin^2 x+5\sin x\cos x+\cos^2 x-3=0,$$

   $$10\sin^2 x+5\sin x\cos x-2\cos^2 x=0.$$

   При $$\cos x\neq 0$$ разделим на $$\cos^2 x$$:

   $$10\tan^2 x+5\tan x-2=0.$$

   Пусть $$t=\tan x$$. Тогда

   $$10t^2+5t-2=0.$$

   $$D=5^2-4\cdot 10\cdot(-2)=25+80=105.$$

   $$t_{1,2}=\frac{-5\pm\sqrt{105}}{20}.$$

   Следовательно,

   $$\tan x=\frac{-5+\sqrt{105}}{20}\quad \text{или} \quad \tan x=\frac{-5-\sqrt{105}}{20}.$$

   Тогда

   $$x=\arctg\frac{-5+\sqrt{105}}{20}+\pi n \quad \text{или} \quad x=\arctg\frac{-5-\sqrt{105}}{20}+\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

4. $$6\sin^2 2x+4\cos^2 2x-8\sin 2x\cos 2x=1$$

   Используем тождество $$\sin^2 2x+\cos^2 2x=1$$:

   $$6\sin^2 2x+4\cos^2 2x-8\sin 2x\cos 2x=\sin^2 2x+\cos^2 2x,$$

   $$5\sin^2 2x-8\sin 2x\cos 2x+3\cos^2 2x=0.$$

   При $$\cos 2x\neq 0$$ разделим на $$\cos^2 2x$$:

   $$5\tan^2 2x-8\tan 2x+3=0.$$

   Пусть $$y=\tan 2x$$. Тогда

   $$5y^2-8y+3=0.$$

   $$D=8^2-4\cdot 5\cdot 3=64-60=4.$$

   $$y_{1,2}=\frac{8\pm 2}{10}.$$

   Получаем:

   $$\tan 2x=1 \quad \text{или} \quad \tan 2x=\frac{3}{5}.$$

   Тогда

   $$2x=\frac{\pi}{4}+\pi n \quad \text{или} \quad 2x=\arctg\frac{3}{5}+\pi n,$$

   откуда

   $$x=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{2} \quad \text{или} \quad x=\frac{1}{2}\arctg\frac{3}{5}+\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb{Z}.$$

Ответ

1) $$x=2\pi n,\ \frac{\pi}{2}+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}.$$

2) $$x=\frac{\pi}{12}+\frac{2\pi n}{3},\ n\in\mathbb{Z}.$$

3) $$x=\arctg\frac{-5+\sqrt{105}}{20}+\pi n,\ \arctg\frac{-5-\sqrt{105}}{20}+\pi n,\ n\in\mathbb{Z}.$$

4) $$x=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{2},\ \frac{1}{2}\arctg\frac{3}{5}+\frac{\pi n}{2},\ n\in\mathbb{Z}.$$