Упр.1195 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

Задача

2) 3 + sin2x = 4 sin^2x;
3) cos2x + cos^2x + sinx cosx = 0;
4) 3cos2x + sin^2x + 5sinxcosx = 0.

Подробный ответ

$$1+7\cos^2 x=3\sin 2x$$
$$1+7\cos^2 x=6\sin x\cos x$$
$$\sin^2 x+\cos^2 x+7\cos^2 x-6\sin x\cos x=0$$
$$\sin^2 x+8\cos^2 x-6\sin x\cos x=0$$
Делим на $$\cos^2 x$$:
$$\tg^2 x+8-6\tg x=0$$
Пусть $$y=\tg x$$, тогда
$$y^2-6y+8=0$$
$$D=36-32=4$$
$$y_1=\frac{6-2}{2}=2,\qquad y_2=\frac{6+2}{2}=4$$
Следовательно,
$$\tg x=2 \quad \text{или} \quad \tg x=4$$
$$x=\arctg 2+\pi n \quad \text{или} \quad x=\arctg 4+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$
$$3+\sin 2x=4\sin^2 x$$
$$3(\cos^2 x+\sin^2 x)+2\sin x\cos x=4\sin^2 x$$
$$3\cos^2 x-\sin^2 x+2\sin x\cos x=0$$
Делим на $$\cos^2 x$$:
$$3-\tg^2 x+2\tg x=0$$
Пусть $$y=\tg x$$, тогда
$$y^2-2y-3=0$$
$$D=4+12=16$$
$$y_1=\frac{2-4}{2}=-1,\qquad y_2=\frac{2+4}{2}=3$$
Значит,
$$\tg x=-1 \quad \text{или} \quad \tg x=3$$
$$x=-\frac{\pi}{4}+\pi n \quad \text{или} \quad x=\arctg 3+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$
$$\cos 2x+\cos^2 x+\sin x\cos x=0$$
$$\cos^2 x-\sin^2 x+\cos^2 x+\sin x\cos x=0$$
$$2\cos^2 x-\sin^2 x+\sin x\cos x=0$$
Делим на $$\cos^2 x$$:
$$2-\tg^2 x+\tg x=0$$
Пусть $$y=\tg x$$, тогда
$$y^2-y-2=0$$
$$D=1+8=9$$
$$y_1=\frac{1-3}{2}=-1,\qquad y_2=\frac{1+3}{2}=2$$
Следовательно,
$$\tg x=-1 \quad \text{или} \quad \tg x=2$$
$$x=-\frac{\pi}{4}+\pi n \quad \text{или} \quad x=\arctg 2+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$
$$3\cos 2x+\sin^2 x+5\sin x\cos x=0$$
$$3(\cos^2 x-\sin^2 x)+\sin^2 x+5\sin x\cos x=0$$
$$3\cos^2 x-2\sin^2 x+5\sin x\cos x=0$$
Делим на $$\cos^2 x$$:
$$3-2\tg^2 x+5\tg x=0$$
Пусть $$y=\tg x$$, тогда
$$2y^2-5y-3=0$$
$$D=25+24=49$$
$$y_1=\frac{5-7}{4}=-\frac12,\qquad y_2=\frac{5+7}{4}=3$$
Значит,
$$\tg x=-\frac12 \quad \text{или} \quad \tg x=3$$
$$x=-\arctg \frac12+\pi n \quad \text{или} \quad x=\arctg 3+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$