Упр.1194 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

1) tg^2x = 2;
2) tgx = ctgx;
3) tg^2x — 3tgx -4 = 0;
4) tg^2x — tgx + 1 = 0.

Решение

1. $$\tg^2 x=2$$

   Тогда

   $$\tg x=\pm \sqrt{2}.$$

   Следовательно,

   $$x=\pm \arctg \sqrt{2}+\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}.$$

2. $$\tg x=\ctg x$$

   Так как $$\ctg x=\dfrac{1}{\tg x},$$ то

   $$\tg x=\dfrac{1}{\tg x}.$$

   Умножим на $$\tg x$$:

   $$\tg^2 x=1.$$

   Тогда

   $$\tg x=\pm 1.$$

   Отсюда

   $$x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2},\quad n\in \mathbb{Z}.$$

3. $$\tg^2 x-3\tg x-4=0$$

   Пусть $$y=\tg x$$. Тогда получаем квадратное уравнение

   $$y^2-3y-4=0.$$

   $$D=9+16=25,$$

   $$y_{1,2}=\frac{3\pm 5}{2}.$$

   Отсюда

   $$y_1=-1,\quad y_2=4.$$

   Значит,

   $$\tg x=-1 \quad \text{или} \quad \tg x=4.$$

   Тогда

   $$x=-\frac{\pi}{4}+\pi n \quad \text{или} \quad x=\arctg 4+\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}.$$

4. $$\tg^2 x-\tg x+1=0$$

   Пусть $$y=\tg x$$. Тогда

   $$y^2-y+1=0.$$

   $$D=1-4=-3<0.$$

   Действительных корней нет, значит, уравнение не имеет решений.

Ответ

1) $$x=\pm \arctg \sqrt{2}+\pi n,\ n\in \mathbb{Z};$$ 2) $$x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2},\ n\in \mathbb{Z};$$ 3) $$x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\ x=\arctg 4+\pi n,\ n\in \mathbb{Z};$$ 4) корней нет.