Упр.1193 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

Задача

1) 2cos^2x — sinx + 1 = О
2) 3cos^2x — sinx — 1 = О
3) 4sin^2x — cosx — 1 = 0
4) 2sin^2x — 3cosx = 0

Подробный ответ

$$2\cos^2 x-\sin x+1=0$$
Заменим $$\cos^2 x=1-\sin^2 x$$:
$$2(1-\sin^2 x)-\sin x+1=0$$
$$2\sin^2 x+\sin x-3=0$$
Пусть $$y=\sin x$$. Тогда
$$2y^2+y-3=0$$
$$D=1+24=25$$
$$y_1=\frac{-1-5}{4}=-\frac32,\qquad y_2=\frac{-1+5}{4}=1$$
Значение $$\sin x=-\frac32$$ невозможно, а при $$\sin x=1$$ получаем
$$x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$
$$3\cos^2 x-\sin x-1=0$$
Подставим $$\cos^2 x=1-\sin^2 x$$:
$$3(1-\sin^2 x)-\sin x-1=0$$
$$3\sin^2 x+\sin x-2=0$$
Пусть $$y=\sin x$$. Тогда
$$3y^2+y-2=0$$
$$D=1+24=25$$
$$y_1=\frac{-1-5}{6}=-1,\qquad y_2=\frac{-1+5}{6}=\frac23$$
При $$\sin x=-1$$:
$$x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$
При $$\sin x=\frac23$$:
$$x=(-1)^n\arcsin\frac23+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$
$$4\sin^2 x-\cos x-1=0$$
Заменим $$\sin^2 x=1-\cos^2 x$$:
$$4(1-\cos^2 x)-\cos x-1=0$$
$$4\cos^2 x+\cos x-3=0$$
Пусть $$y=\cos x$$. Тогда
$$4y^2+y-3=0$$
$$D=1+48=49$$
$$y_1=\frac{-1-7}{8}=-1,\qquad y_2=\frac{-1+7}{8}=\frac34$$
При $$\cos x=-1$$:
$$x=\pi+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$
При $$\cos x=\frac34$$:
$$x=\pm\arccos\frac34+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$
$$2\sin^2 x+3\cos x=0$$
Подставим $$\sin^2 x=1-\cos^2 x$$:
$$2(1-\cos^2 x)+3\cos x=0$$
$$2\cos^2 x-3\cos x-2=0$$
Пусть $$y=\cos x$$. Тогда
$$2y^2-3y-2=0$$
$$D=9+16=25$$
$$y_1=\frac{3-5}{4}=-\frac12,\qquad y_2=\frac{3+5}{4}=2$$
Значение $$\cos x=2$$ невозможно, а при $$\cos x=-\frac12$$:
$$x=\pm\frac{2\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$