Упр.1192 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

1192.
1) sin^2x = 1/4;
2) cos^2x= 1/2
3) 2sin^2x + sinx — 1=0
4) 2cos^2x+cosx-6=0

1. $$\sin^2 x=\frac14$$

   $$\sin x=\pm \frac12$$

   Тогда
   $$x=\frac{\pi}{6}+2\pi n,\quad x=\frac{5\pi}{6}+2\pi n,\quad x=-\frac{\pi}{6}+2\pi n,\quad x=\frac{7\pi}{6}+2\pi n.$$

   Это можно записать короче:
   $$x=\pm \frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}.$$

2. $$\cos^2 x=\frac12$$

   $$\cos x=\pm \frac{\sqrt2}{2}$$

   Тогда
   $$x=\pm \frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}.$$

3. $$2\sin^2 x+\sin x-1=0$$

   Пусть $$y=\sin x$$. Тогда
   $$2y^2+y-1=0.$$

   $$D=1+8=9,$$
   $$y_{1,2}=\frac{-1\pm 3}{4}.$$

   Получаем:
   $$y_1=-1,\quad y_2=\frac12.$$

   Значит,
   $$\sin x=-1 \Rightarrow x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n,$$
   $$\sin x=\frac12 \Rightarrow x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}.$$

4. $$2\cos^2 x+\cos x-6=0$$

   Пусть $$y=\cos x$$. Тогда
   $$2y^2+y-6=0.$$

   $$D=1+48=49,$$
   $$y_{1,2}=\frac{-1\pm 7}{4}.$$

   Получаем:
   $$y_1=-2,\quad y_2=\frac32.$$

   Но $$\cos x\in[-1;1]$$, поэтому оба значения невозможны. Корней нет.

Ответ

1) $$x=\pm \frac{\pi}{6}+\pi n,\ n\in \mathbb{Z};$$
2) $$x=\pm \frac{\pi}{4}+\pi n,\ n\in \mathbb{Z};$$
3) $$x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n,\ x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n,\ n\in \mathbb{Z};$$
4) корней нет.