Упр.1191 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 10 класс, Просвещение: 1191. Доказать, что при любом действительном значении а справедливо равенство cos(arctga) = 1/v(1+a^2). *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 10 kolyagin10 1191 1012

Пусть $$\varphi=\arctg a.$$ Тогда по определению арктангенса

$$\tg \varphi=a.$$

Используем основное тригонометрическое тождество:

$$1+\tg^2 \varphi=\frac{1}{\cos^2 \varphi}.$$

Подставим $$\tg \varphi=a$$:

$$1+a^2=\frac{1}{\cos^2 \varphi}.$$

Отсюда

$$\cos^2 \varphi=\frac{1}{1+a^2}.$$

Так как $$\varphi=\arctg a \in \left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right),$$ то $$\cos \varphi>0,$$ значит

$$\cos \varphi=\frac{1}{\sqrt{1+a^2}}.$$

Следовательно,

$$\cos(\arctg a)=\frac{1}{\sqrt{1+a^2}}.$$

Ответ

$$\cos(\arctg a)=\frac{1}{\sqrt{1+a^2}}.$$