Упр.1189 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

Доказать, что $$\operatorname{arctg}(\operatorname{tg} a)=a$$.

Вычислить:

1. $$4\operatorname{arctg}(\operatorname{tg} 0{,}5)$$;
2. $$\operatorname{arctg}\left(\operatorname{tg}\frac{7\pi}{8}\right)$$;
3. $$\operatorname{arctg}(\operatorname{tg} 13)$$.

По определению арктангенса, если $$-\frac{\pi}{2} < a < \frac{\pi}{2},$$ то

$$\arctg(\tg a)=a.$$

Действительно, число $$a$$ лежит в промежутке значений функции $$\arctg x,$$ поэтому $$\arctg(\tg a)$$ возвращает именно $$a.$$

Вычислим значения:

1. $$4\arctg(\tg 0{,}5)=4\cdot 0{,}5=2.$$

2. $$\arctg\!\left(\tg\frac{7\pi}{8}\right)=\arctg\!\left(\tg\left(\pi-\frac{\pi}{8}\right)\right)=\arctg\!\left(\tg\left(-\frac{\pi}{8}\right)\right)=-\frac{\pi}{8}.$$

3. $$\arctg(\tg 13)=\arctg\!\left(\tg(13-4\pi)\right)=13-4\pi,$$

   так как $$13-4\pi\in\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right).$$

Ответ

$$\arctg(\tg a)=a,\quad -\frac{\pi}{2}<a<\frac{\pi}{2};$$

1) $$2$$; 2) $$-\frac{\pi}{8}$$; 3) $$13-4\pi.$$