Упр.1185 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

2) (v3tgx + 1)(tgx —v3) = 0;
3) (tgx — 2)(2cosx — 1) = 0;
4) (tgx — 4,5)(1 + 2sinx) = 0;
5) (tgx + 4)(tg x/2 —1)=0;
6) (tg x/6 + 1)(tgx -1) = 0.

1. $$\left(\tg x-1\right)\left(\tg x+\sqrt{3}\right)=0$$

   Тогда

   $$\tg x-1=0 \quad \text{или} \quad \tg x+\sqrt{3}=0.$$

   Из первого уравнения:

   $$\tg x=1 \Rightarrow x=\frac{\pi}{4}+\pi n.$$

   Из второго уравнения:

   $$\tg x=-\sqrt{3} \Rightarrow x=-\frac{\pi}{3}+\pi n.$$

2. $$\left(\sqrt{3}\tg x+1\right)\left(\tg x-\sqrt{3}\right)=0$$

   Тогда

   $$\sqrt{3}\tg x+1=0 \quad \text{или} \quad \tg x-\sqrt{3}=0.$$

   Из первого уравнения:

   $$\tg x=-\frac{1}{\sqrt{3}} \Rightarrow x=-\frac{\pi}{6}+\pi n.$$

   Из второго уравнения:

   $$\tg x=\sqrt{3} \Rightarrow x=\frac{\pi}{3}+\pi n.$$

3. $$\left(\tg x-2\right)\left(2\cos x-1\right)=0$$

   Тогда

   $$\tg x-2=0 \quad \text{или} \quad 2\cos x-1=0.$$

   Из первого уравнения:

   $$\tg x=2 \Rightarrow x=\arctg 2+\pi n.$$

   Из второго уравнения:

   $$2\cos x=1 \Rightarrow \cos x=\frac{1}{2} \Rightarrow x=\pm \frac{\pi}{3}+2\pi n.$$

4. $$\left(\tg x-4{,}5\right)\left(1+2\sin x\right)=0$$

   Тогда

   $$\tg x-4{,}5=0 \quad \text{или} \quad 1+2\sin x=0.$$

   Из первого уравнения:

   $$\tg x=4{,}5 \Rightarrow x=\arctg 4{,}5+\pi n.$$

   Из второго уравнения:

   $$2\sin x=-1 \Rightarrow \sin x=-\frac{1}{2} \Rightarrow x=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{6}+\pi n.$$

5. $$\left(\tg x+4\right)\left(\tg \frac{x}{2}-1\right)=0$$

   Тогда

   $$\tg x+4=0 \quad \text{или} \quad \tg \frac{x}{2}-1=0.$$

   Из первого уравнения:

   $$\tg x=-4 \Rightarrow x=-\arctg 4+\pi n.$$

   Из второго уравнения:

   $$\tg \frac{x}{2}=1 \Rightarrow \frac{x}{2}=\frac{\pi}{4}+\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi}{2}+2\pi n.$$

6. $$\left(\tg \frac{x}{6}+1\right)\left(\tg x-1\right)=0$$

   Тогда

   $$\tg \frac{x}{6}+1=0 \quad \text{или} \quad \tg x-1=0.$$

   Из первого уравнения:

   $$\tg \frac{x}{6}=-1 \Rightarrow \frac{x}{6}=-\frac{\pi}{4}+\pi n \Rightarrow x=-\frac{3\pi}{2}+6\pi n.$$

   Из второго уравнения:

   $$\tg x=1 \Rightarrow x=\frac{\pi}{4}+\pi n.$$

Ответ

1) $$x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\; -\frac{\pi}{3}+\pi n.$$
2) $$x=-\frac{\pi}{6}+\pi n,\; \frac{\pi}{3}+\pi n.$$
3) $$x=\arctg 2+\pi n,\; x=\pm \frac{\pi}{3}+2\pi n.$$
4) $$x=\arctg 4{,}5+\pi n,\; x=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{6}+\pi n.$$
5) $$x=-\arctg 4+\pi n,\; x=\frac{\pi}{2}+2\pi n.$$
6) $$x=-\frac{3\pi}{2}+6\pi n,\; x=\frac{\pi}{4}+\pi n,$$ $$n\in \mathbb{Z}.$$