Упр.1179 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 10 класс, Просвещение: 1179. Доказать, что если 0 < = a < = 1, то 2arcsin a = arccos(1 - 2a^2).

Пусть $$\alpha=\arcsin a.$$ Тогда при $$0\le a\le 1$$ имеем $$\alpha\in\left[0;\frac{\pi}{2}\right]$$ и

$$\sin \alpha=a.$$

Рассмотрим левую часть:

$$\cos\bigl(2\arcsin a\bigr)=\cos 2\alpha.$$

По формуле двойного угла:

$$\cos 2\alpha=1-2\sin^2\alpha.$$

Так как $$\sin\alpha=a,$$ то

$$\cos\bigl(2\arcsin a\bigr)=1-2a^2.$$

Теперь правая часть:

$$\cos\bigl(\arccos(1-2a^2)\bigr)=1-2a^2.$$

Следовательно, обе части равны одному и тому же выражению:

$$\cos\bigl(2\arcsin a\bigr)=\cos\bigl(\arccos(1-2a^2)\bigr).$$

Так как при $$0\le a\le 1$$ значения обеих дуг лежат в допустимых промежутках, получаем

$$2\arcsin a=\arccos(1-2a^2).$$

Ответ

$$2\arcsin a=\arccos(1-2a^2).$$