Упр.1174 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

Вычислить:
1) 7arcsin(sin пи/7);
2) 4 arcsin (sin1/2);
3) arcsin(sin 6пи/7);
4) arcsin(sin 5).

По определению функции $$\arcsin x$$ её значения лежат в промежутке $$\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right].$$ Поэтому при $$-\frac{\pi}{2}\le a\le \frac{\pi}{2}$$ имеем

$$\arcsin(\sin a)=a.$$

Теперь вычислим значения:

1. $$7\arcsin\left(\sin\frac{\pi}{7}\right)=7\cdot\frac{\pi}{7}=\pi.$$

2. $$4\arcsin\left(\sin\frac12\right)=4\cdot\frac12=2.$$

3. Так как $$\frac{6\pi}{7}=\pi-\frac{\pi}{7},$$ то

   $$\sin\frac{6\pi}{7}=\sin\left(\pi-\frac{\pi}{7}\right)=\sin\frac{\pi}{7}.$$

   Следовательно,

   $$\arcsin\left(\sin\frac{6\pi}{7}\right)=\arcsin\left(\sin\frac{\pi}{7}\right)=\frac{\pi}{7}.$$

4. Представим число $$5$$ в виде $$5=2\pi+(5-2\pi).$$ Тогда

   $$\sin 5=\sin(5-2\pi),$$

   и потому

   $$\arcsin(\sin 5)=\arcsin(\sin(5-2\pi))=5-2\pi.$$

Ответ

$$\arcsin(\sin a)=a,\quad -\frac{\pi}{2}\le a\le \frac{\pi}{2};$$

1) $$\pi$$; 2) $$2$$; 3) $$\frac{\pi}{7}$$; 4) $$5-2\pi$$.