Упр.1172 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

а

Решим уравнение

$$\sin \frac{x}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}.$$

Тогда

$$\frac{x}{2}=(-1)^n\arcsin \frac{\sqrt{3}}{2}+\pi n=(-1)^n\frac{\pi}{3}+\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}.$$

Отсюда

$$x=2\left((-1)^n\frac{\pi}{3}+\pi n\right).$$

Упростим общий вид корней:

$$x=\frac{2\pi}{3}+4\pi k \quad \text{или} \quad x=\frac{4\pi}{3}+4\pi k,\quad k\in \mathbb{Z}.$$

Теперь учтём неравенство

$$\log_{\pi}(x-4\pi)<1.$$

Так как основание $$\pi>1,$$ то

$$0<x-4\pi<\pi,$$

то есть

$$4\pi<x<5\pi.$$

Проверим корни на этом промежутке.

1) $$x=\frac{2\pi}{3}+4\pi k.$$

При $$k=1$$ получаем

$$x=\frac{2\pi}{3}+4\pi=\frac{14\pi}{3},$$

и это число лежит в интервале $$\left(4\pi;5\pi\right).$$

При других целых $$k$$ корни в этот промежуток не попадают.

2) $$x=\frac{4\pi}{3}+4\pi k.$$

При $$k=1$$ получаем

$$x=\frac{4\pi}{3}+4\pi=\frac{16\pi}{3},$$

и это число также лежит в интервале $$\left(4\pi;5\pi\right).$$

Других подходящих значений нет.

Ответ

$$x=\frac{14\pi}{3},\ \frac{16\pi}{3}.$$