Упр.1171 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 10 класс, Просвещение: 1171. Найти все корни уравнения sin2x =1/2, принадлежащие отрезку [О; 2pi].

Решим уравнение:

$$\sin 2x=\frac12.$$

Тогда

$$2x=(-1)^n\arcsin\frac12+\pi n=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Делим обе части на $2$:

$$x=(-1)^n\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{2}.$$

Найдём корни, принадлежащие отрезку $$[0;2\pi].$$

При $n=0$:

$$x_1=\frac{\pi}{12}.$$

При $n=1$:

$$x_2=-\frac{\pi}{12}+\frac{\pi}{2}=\frac{5\pi}{12}.$$

При $n=2$:

$$x_3=\frac{\pi}{12}+\pi=\frac{13\pi}{12}.$$

При $n=3$:

$$x_4=-\frac{\pi}{12}+\frac{3\pi}{2}=\frac{17\pi}{12}.$$

Следующие значения уже больше $2\pi$, поэтому не подходят.

Ответ

$$\frac{\pi}{12},\ \frac{5\pi}{12},\ \frac{13\pi}{12},\ \frac{17\pi}{12}.$$