Упр.1170 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

1) (4sinx — 3)(2sinx + 1) = 0;
2) (4sin3x — 1)(2sinx + 3) = 0.

1. $$\left(4\sin x-3\right)\left(2\sin x+1\right)=0$$

   Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:

   $$4\sin x-3=0 \quad \text{или} \quad 2\sin x+1=0$$

   $$\sin x=\frac34 \quad \text{или} \quad \sin x=-\frac12$$

   Тогда

   $$x=(-1)^n\arcsin\frac34+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

   $$x=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

2. $$\left(4\sin 3x-1\right)\left(2\sin x+3\right)=0$$

   Снова приравниваем каждый множитель к нулю:

   $$4\sin 3x-1=0 \quad \text{или} \quad 2\sin x+3=0$$

   $$\sin 3x=\frac14 \quad \text{или} \quad \sin x=-\frac32$$

   Уравнение $$\sin x=-\frac32$$ решений не имеет, так как $$|\sin x|\le 1$$.

   Остаётся решить:

   $$\sin 3x=\frac14$$

   $$3x=(-1)^n\arcsin\frac14+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

   $$x=(-1)^n\frac13\arcsin\frac14+\frac{\pi n}{3},\quad n\in\mathbb Z$$

Ответ

1) $$x=(-1)^n\arcsin\frac34+\pi n,\; x=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{6}+\pi n,\; n\in\mathbb Z$$

2) $$x=(-1)^n\frac13\arcsin\frac14+\frac{\pi n}{3},\; n\in\mathbb Z$$