Упр.1159 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 10 класс, Просвещение: 1159.1 Доказать, что если -1 < = а < = 1, то 2arccos(v((1+a)/2))=arccos a

Пусть $$-1 \le a \le 1.$$ Тогда число $$\arccos a$$ определено, и

$$\cos(\arccos a)=a.$$

Рассмотрим левую часть:

$$2\arccos\sqrt{\frac{1+a}{2}}=2\arccos\sqrt{\frac{1+\cos(\arccos a)}{2}}.$$

Используем формулу

$$\cos^2\frac{x}{2}=\frac{1+\cos x}{2}.$$

При $$x=\arccos a$$ получаем

$$\sqrt{\frac{1+\cos(\arccos a)}{2}}=\sqrt{\cos^2\frac{\arccos a}{2}}=\cos\frac{\arccos a}{2},$$

так как $$\frac{\arccos a}{2}\in\left[0,\frac{\pi}{2}\right]$$ и косинус на этом промежутке неотрицателен.

Тогда

$$2\arccos\sqrt{\frac{1+a}{2}}=2\arccos\left(\cos\frac{\arccos a}{2}\right).$$

Поскольку $$\frac{\arccos a}{2}\in[0,\pi],$$ имеем

$$\arccos\left(\cos\frac{\arccos a}{2}\right)=\frac{\arccos a}{2}.$$

Следовательно,

$$2\arccos\sqrt{\frac{1+a}{2}}=2\cdot\frac{\arccos a}{2}=\arccos a.$$

Тождество доказано.

Ответ

$$2\arccos\sqrt{\frac{1+a}{2}}=\arccos a.$$