Упр.1157 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

1) sin(arccos1/3 + arccos 2v2/3)
2) cos(arccos4/5 — arccos3/5).

Используем формулы:

$$\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta,$$

$$\cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta,$$

а также

$$\sin(\arccos x)=\sqrt{1-x^2}, \qquad \cos(\arccos x)=x.$$

1. $$\sin\left(\arccos\frac13+\arccos\frac{2\sqrt2}{3}\right)$$

   $$= \sin\left(\arccos\frac13\right)\cos\left(\arccos\frac{2\sqrt2}{3}\right) +\cos\left(\arccos\frac13\right)\sin\left(\arccos\frac{2\sqrt2}{3}\right)$$

   $$= \sqrt{1-\left(\frac13\right)^2}\cdot\frac{2\sqrt2}{3} +\frac13\cdot\sqrt{1-\left(\frac{2\sqrt2}{3}\right)^2}$$

   $$= \sqrt{\frac89}\cdot\frac{2\sqrt2}{3} +\frac13\cdot\sqrt{\frac19} = \frac{2\sqrt2}{3}\cdot\frac{2\sqrt2}{3} +\frac13\cdot\frac13$$

   $$= \frac{8}{9}+\frac{1}{9}=1.$$

2. $$\cos\left(\arccos\frac45-\arccos\frac35\right)$$

   $$= \cos\left(\arccos\frac45\right)\cos\left(\arccos\frac35\right) +\sin\left(\arccos\frac45\right)\sin\left(\arccos\frac35\right)$$

   $$= \frac45\cdot\frac35 +\sqrt{1-\left(\frac45\right)^2}\cdot\sqrt{1-\left(\frac35\right)^2}$$

   $$= \frac{12}{25} +\sqrt{\frac{9}{25}}\cdot\sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{12}{25}+\frac{12}{25} = \frac{24}{25}.$$

Ответ

1) $$1$$; 2) $$\frac{24}{25}$$.