Упр.1156 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

1) 5arccos(cos пи/10);
2) 3arccos(cos2);
3) arccos(cos8пи/7);
4) arccos(cos4).

По определению функции арккосинуса, если $$0 \le a \le \pi,$$ то

$$\arccos(\cos a)=a.$$

Это и нужно было доказать.

Вычислим значения:

1. $$5\arccos\left(\cos \frac{\pi}{10}\right)=5\cdot \frac{\pi}{10}=\frac{\pi}{2}.$$

2. Так как $$2 \in [0;\pi],$$ то

   $$3\arccos(\cos 2)=3\cdot 2=6.$$

3. $$\arccos\left(\cos \frac{8\pi}{7}\right)=\arccos\left(\cos\left(\pi+\frac{\pi}{7}\right)\right).$$

   Используем формулу $$\cos(\pi+\alpha)=-\cos\alpha,$$ тогда

   $$\arccos\left(\cos \frac{8\pi}{7}\right)=\arccos\left(-\cos \frac{\pi}{7}\right)=\pi-\arccos\left(\cos \frac{\pi}{7}\right)=\pi-\frac{\pi}{7}=\frac{6\pi}{7}.$$

4. $$\arccos(\cos 4)=\arccos\left(\cos(2\pi-4)\right).$$

   Так как $$\cos(2\pi-4)=\cos 4,$$ а $$2\pi-4 \in [0;\pi],$$ то

   $$\arccos(\cos 4)=2\pi-4.$$

Ответ

$$\arccos(\cos a)=a,\quad 0 \le a \le \pi.$$

1) $$\frac{\pi}{2};$$ 2) $$6;$$ 3) $$\frac{6\pi}{7};$$ 4) $$2\pi-4.$$