Упр.1153 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 10 класс, Просвещение: 1153. Найти все корни уравнения cos4x = v2/2, удовлетворяющие неравенству |x| < pi/2

Решим уравнение:

$$\cos 4x=\frac{\sqrt{2}}{2}.$$

Тогда

$$4x=\pm \arccos \frac{\sqrt{2}}{2}+2\pi n=\pm \frac{\pi}{4}+2\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}.$$

Делим на $4$:

$$x=\pm \frac{\pi}{16}+\frac{\pi n}{2}.$$

Теперь отберём корни, удовлетворяющие неравенству $$|x|<\frac{\pi}{2}.$$

Проверяем значения при разных целых $n$:

при $n=0$:

$$x=-\frac{\pi}{16},\quad x=\frac{\pi}{16};$$

при $n=1$:

$$x=\frac{7\pi}{16},\quad x=\frac{9\pi}{16};$$

при $n=-1$:

$$x=-\frac{7\pi}{16},\quad x=-\frac{9\pi}{16}.$$

Из них условию $$|x|<\frac{\pi}{2}$$ удовлетворяют только

$$-\frac{7\pi}{16},\ -\frac{\pi}{16},\ \frac{\pi}{16},\ \frac{7\pi}{16}.$$

Ответ

$$-\frac{7\pi}{16},\ -\frac{\pi}{16},\ \frac{\pi}{16},\ \frac{7\pi}{16}.$$