Упр.1152 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 10 класс, Просвещение: 1152. Найти все корни уравнения cos2х= — 1/2 на отрезке [-pi/2;5pi/2]

Решаем уравнение:

$$\cos 2x=-\frac12.$$

Тогда

$$2x=\pm\arccos\left(-\frac12\right)+2\pi n.$$

Так как $$\arccos\left(-\frac12\right)=\frac{2\pi}{3},$$ получаем

$$2x=\pm\frac{2\pi}{3}+2\pi n,$$

откуда

$$x=\pm\frac{\pi}{3}+\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

Найдём корни на отрезке $$\left[-\frac{\pi}{2};\frac{5\pi}{2}\right].$$

Подходящие значения при разных целых $$n$$:

$$x=-\frac{\pi}{3},\ \frac{\pi}{3},\ \frac{2\pi}{3},\ \frac{4\pi}{3},\ \frac{5\pi}{3},\ \frac{7\pi}{3}.$$

Ответ

$$-\frac{\pi}{3},\ \frac{\pi}{3},\ \frac{2\pi}{3},\ \frac{4\pi}{3},\ \frac{5\pi}{3},\ \frac{7\pi}{3}.$$