Упр.1151 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

1. Решить уравнение:
   1) $$\cos^2 2x = 1 + \sin^2 2x$$;
   2) $$4\cos^2 x = 3$$;
   3) $$2\cos^2 x = 1 + 2\sin^2 x$$;
   4) $$2\sqrt{2}\cos^2 x = 1+\sqrt{2}$$;
   5) $$(1+\cos x)(3-2\cos x)=0$$;
   6) $$(1-\cos x)(4+3\cos 2x)=0$$;
   7) $$(1+2\cos x)(1-3\cos x)=0$$;
   8) $$(3-2\cos x)(2+3\cos x)=0$$.

1. $$\cos^2 2x=1+\sin^2 2x$$

   $$\cos^2 2x-\sin^2 2x=1$$

   $$\cos 4x=1$$

   $$4x=2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

   $$x=\frac{\pi n}{2}$$

2. $$4\cos^2 x=3$$

   $$2(1+\cos 2x)=3$$

   $$\cos 2x=\frac12$$

   $$2x=\pm \frac{\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

   $$x=\pm \frac{\pi}{6}+\pi n$$

3. $$2\cos^2 x=1+2\sin^2 x$$

   $$2\cos^2 x-2\sin^2 x=1$$

   $$2(\cos^2 x-\sin^2 x)=1$$

   $$\cos 2x=\frac12$$

   $$2x=\pm \frac{\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

   $$x=\pm \frac{\pi}{6}+\pi n$$

4. $$2\sqrt2\cos^2 x=1+\sqrt2$$

   $$\sqrt2(2\cos^2 x-1)=1$$

   $$\cos 2x=\frac{1}{\sqrt2}$$

   $$2x=\pm \frac{\pi}{4}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

   $$x=\pm \frac{\pi}{8}+\pi n$$

5. $$\left(1+\cos x\right)\left(3-2\cos x\right)=0$$

   $$1+\cos x=0 \quad \text{или} \quad 3-2\cos x=0$$

   $$\cos x=-1 \quad \text{или} \quad \cos x=\frac32$$

   Так как $$\frac32>1$$, второе уравнение решений не имеет.

   $$x=\pi+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

6. $$\left(1-\cos x\right)\left(4+3\cos x\right)=0$$

   $$1-\cos x=0 \quad \text{или} \quad 4+3\cos x=0$$

   $$\cos x=1 \quad \text{или} \quad \cos x=-\frac43$$

   Так как $$-\frac43<-1$$, второе уравнение решений не имеет.

   $$x=2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

7. $$\left(1+2\cos x\right)\left(1-3\cos x\right)=0$$

   $$1+2\cos x=0 \quad \text{или} \quad 1-3\cos x=0$$

   $$\cos x=-\frac12 \quad \text{или} \quad \cos x=\frac13$$

   $$x=\pm \frac{2\pi}{3}+2\pi n \quad \text{или} \quad x=\pm \arccos\frac13+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

8. $$\left(3-2\cos x\right)\left(2+3\cos x\right)=0$$

   $$3-2\cos x=0 \quad \text{или} \quad 2+3\cos x=0$$

   $$\cos x=\frac32 \quad \text{или} \quad \cos x=-\frac23$$

   Так как $$\frac32>1$$, первое уравнение решений не имеет.

   $$x=\pm \arccos\left(-\frac23\right)+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

   Эквивалентно:

   $$x=\pm \left(\pi-\arccos\frac23\right)+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

Ответ

1) $$x=\frac{\pi n}{2}$$;
2) $$x=\pm \frac{\pi}{6}+\pi n$$;
3) $$x=\pm \frac{\pi}{6}+\pi n$$;
4) $$x=\pm \frac{\pi}{8}+\pi n$$;
5) $$x=\pi+2\pi n$$;
6) $$x=2\pi n$$;
7) $$x=\pm \frac{2\pi}{3}+2\pi n,\; x=\pm \arccos\frac13+2\pi n$$;
8) $$x=\pm \arccos\left(-\frac23\right)+2\pi n$$, $$n\in\mathbb Z$$.