Упр.1151 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)
1) cos^2 2x = 1 + sin^2 2x;
2) 4cos^2 x = 3;
3) 2 cos^2 x = 1 + 2sin^2 x;
4) 2v2cos^2 x = 1+ v2;
5) (1 + cosx)(3 — 2cosx) = 0;
6) (1 — cosx)(4 + 3cos2x) = 0;
7) (1 + 2cosx)(1 — 3cosx) = 0;
8) (3 — 2cosx)(2 + 3cosx) = 0.
$$\cos^2 2x=1+\sin^2 2x$$
$$\cos^2 2x-\sin^2 2x=1$$
$$\cos 4x=1$$
$$4x=2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$
$$x=\frac{\pi n}{2}$$
$$4\cos^2 x=3$$
$$2(1+\cos 2x)=3$$
$$\cos 2x=\frac12$$
$$2x=\pm \frac{\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$
$$x=\pm \frac{\pi}{6}+\pi n$$
$$2\cos^2 x=1+2\sin^2 x$$
$$2\cos^2 x-2\sin^2 x=1$$
$$2(\cos^2 x-\sin^2 x)=1$$
$$\cos 2x=\frac12$$
$$2x=\pm \frac{\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$
$$x=\pm \frac{\pi}{6}+\pi n$$
$$2\sqrt2\cos^2 x=1+\sqrt2$$
$$\sqrt2(2\cos^2 x-1)=1$$
$$\cos 2x=\frac{1}{\sqrt2}$$
$$2x=\pm \frac{\pi}{4}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$
$$x=\pm \frac{\pi}{8}+\pi n$$
$$\left(1+\cos x\right)\left(3-2\cos x\right)=0$$
$$1+\cos x=0 \quad \text{или} \quad 3-2\cos x=0$$
$$\cos x=-1 \quad \text{или} \quad \cos x=\frac32$$
Так как $$\frac32>1$$, второе уравнение решений не имеет.
$$x=\pi+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$
$$\left(1-\cos x\right)\left(4+3\cos x\right)=0$$
$$1-\cos x=0 \quad \text{или} \quad 4+3\cos x=0$$
$$\cos x=1 \quad \text{или} \quad \cos x=-\frac43$$
Так как $$-\frac43<-1$$, второе уравнение решений не имеет.
$$x=2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$
$$\left(1+2\cos x\right)\left(1-3\cos x\right)=0$$
$$1+2\cos x=0 \quad \text{или} \quad 1-3\cos x=0$$
$$\cos x=-\frac12 \quad \text{или} \quad \cos x=\frac13$$
$$x=\pm \frac{2\pi}{3}+2\pi n \quad \text{или} \quad x=\pm \arccos\frac13+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$
$$\left(3-2\cos x\right)\left(2+3\cos x\right)=0$$
$$3-2\cos x=0 \quad \text{или} \quad 2+3\cos x=0$$
$$\cos x=\frac32 \quad \text{или} \quad \cos x=-\frac23$$
Так как $$\frac32>1$$, первое уравнение решений не имеет.
$$x=\pm \arccos\left(-\frac23\right)+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$
Эквивалентно:
$$x=\pm \left(\pi-\arccos\frac23\right)+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$
Ответ
1) $$x=\frac{\pi n}{2}$$;
2) $$x=\pm \frac{\pi}{6}+\pi n$$;
3) $$x=\pm \frac{\pi}{6}+\pi n$$;
4) $$x=\pm \frac{\pi}{8}+\pi n$$;
5) $$x=\pi+2\pi n$$;
6) $$x=2\pi n$$;
7) $$x=\pm \frac{2\pi}{3}+2\pi n,\; x=\pm \arccos\frac13+2\pi n$$;
8) $$x=\pm \arccos\left(-\frac23\right)+2\pi n$$, $$n\in\mathbb Z$$.
