Упр.115 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

1) система
2x-y=0,
3×2-y2+4=0;
2) система
x-2y=8,
x2+2y2=22;
3) система
x2+y2=13,
xy+6=0.

1. Из первого уравнения $$2x-y=0$$ получаем $$y=2x$$. Подставим во второе:

   $$3x^2-y^2+4=0$$
   $$3x^2-(2x)^2+4=0$$
   $$3x^2-4x^2+4=0$$
   $$x^2=4,$$
   $$x=\pm 2.$$

   Тогда $$y=2x$$, значит $$y=\pm 4$$.

   $$(-2;\,-4),\ (2;\,4)$$

2. Из первого уравнения $$x-2y=8$$ получаем $$x=8+2y$$. Подставим во второе:

   $$(8+2y)^2+2y^2=22$$
   $$64+32y+4y^2+2y^2=22$$
   $$6y^2+32y+42=0$$
   $$3y^2+16y+21=0.$$

   $$D=16^2-4\cdot 3\cdot 21=256-252=4.$$

   $$y=\frac{-16\pm 2}{2\cdot 3}$$
   $$y_1=-3,\quad y_2=-\frac{7}{3}.$$

   Тогда
   $$x_1=8+2\cdot(-3)=2,$$
   $$x_2=8+2\cdot\left(-\frac{7}{3}\right)=\frac{10}{3}.$$

   $$ (2;\,-3),\ \left(\frac{10}{3};\,-\frac{7}{3}\right) $$

3. Из второго уравнения $$xy+6=0$$ получаем $$xy=-6$$, то есть $$y=-\frac{6}{x}$$. Подставим в первое:

   $$x^2+y^2=13$$
   $$x^2+\frac{36}{x^2}=13.$$

   Умножим на $$x^2$$:

   $$x^4-13x^2+36=0.$$

   Обозначим $$t=x^2$$. Тогда
   $$t^2-13t+36=0,$$
   $$D=13^2-4\cdot 36=169-144=25.$$

   $$t_1=\frac{13-5}{2}=4,\quad t_2=\frac{13+5}{2}=9.$$

   Значит,
   $$x^2=4 \Rightarrow x=\pm 2,$$
   $$x^2=9 \Rightarrow x=\pm 3.$$

   По формуле $$y=-\frac{6}{x}$$ получаем:
   $$x=2 \Rightarrow y=-3,$$
   $$x=-2 \Rightarrow y=3,$$
   $$x=3 \Rightarrow y=-2,$$
   $$x=-3 \Rightarrow y=2.$$

   $$(-3;\,2),\ (-2;\,3),\ (2;\,-3),\ (3;\,-2)$$

Ответ

1) $$(-2;\,-4),\ (2;\,4)$$
2) $$ (2;\,-3),\ \left(\frac{10}{3};\,-\frac{7}{3}\right) $$
3) $$(-3;\,2),\ (-2;\,3),\ (2;\,-3),\ (3;\,-2)$$