Упр.1141 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 10 класс, Просвещение: 1141. Немецкий астроном и математик Региомонтан доказал так называемую теорему тангенсов, связывающую длины двух любых сторон треугольника (например, а и Ь) и величины углов, лежащих против этих сторон (а и b соответственно). доказать справедливость этой формулы (используя теорему синусов). *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 10 kolyagin10 1141 1012

Подробный ответ

По теореме синусов для треугольника имеем

$$\frac{a}{\sin \alpha}=\frac{b}{\sin \beta}.$$

Отсюда

$$a=\frac{b\sin \alpha}{\sin \beta}.$$

Подставим это выражение в левую часть доказываемой формулы:

$$ \frac{a-b}{a+b} = \frac{\frac{b\sin \alpha}{\sin \beta}-b}{\frac{b\sin \alpha}{\sin \beta}+b} = \frac{b(\sin \alpha-\sin \beta)}{b(\sin \alpha+\sin \beta)} = \frac{\sin \alpha-\sin \beta}{\sin \alpha+\sin \beta}. $$

Используем формулы суммы и разности синусов:

$$ \sin \alpha-\sin \beta = 2\cos \frac{\alpha+\beta}{2}\sin \frac{\alpha-\beta}{2}, $$

$$ \sin \alpha+\sin \beta = 2\sin \frac{\alpha+\beta}{2}\cos \frac{\alpha-\beta}{2}. $$

Тогда

$$ \frac{\sin \alpha-\sin \beta}{\sin \alpha+\sin \beta} = \frac{2\cos \frac{\alpha+\beta}{2}\sin \frac{\alpha-\beta}{2}}{2\sin \frac{\alpha+\beta}{2}\cos \frac{\alpha-\beta}{2}} = \frac{\tg \frac{\alpha-\beta}{2}}{\tg \frac{\alpha+\beta}{2}}. $$

Следовательно,

$$ \frac{a-b}{a+b} = \frac{\tg \frac{\alpha-\beta}{2}}{\tg \frac{\alpha+\beta}{2}}, $$

что и требовалось доказать.