Упр.1140 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

Совет дня!Сайт решак.ру отлично работает на мобильных телефонах, им можно успешно пользоваться во время урока. Телефон хорошо прячется за учебником или рукавом. Или можно сказать, что забыли учебник дома, а на телефоне у вас электронный.

1) Преобразуем левую часть:

$$ 4\sin a\cdot \sin\left(\frac{\pi}{3}-a\right)\sin\left(\frac{\pi}{3}+a\right) $$
$$ =4\sin a\cdot \frac{1}{2}\left(\cos 2a-\cos \frac{2\pi}{3}\right) $$
$$ =2\sin a\cos 2a-2\sin a\cos \frac{2\pi}{3} $$
$$ =2\sin a\cdot \frac{\sin 3a+\sin(-a)}{2}-2\sin a\cdot\left(-\frac12\right) $$
$$ =\sin a(\sin 3a-\sin a)+\sin a =\sin 3a. $$

Тождество доказано.

2) Преобразуем левую часть:

$$ \frac{(\cos a+\sin a)(1-\tg a)}{\sin \frac a2\cdot \cos \frac a2} +\frac{4(\cos a-\sin a)}{\sin a+\cos a} $$
$$ =\frac{(\cos a+\sin a)\left(1-\frac{\sin a}{\cos a}\right)}{\frac12\sin a} +\frac{4(\cos a-\sin a)}{\sin a+\cos a} $$
$$ =\frac{(\cos a+\sin a)(\cos a-\sin a)}{\frac12\sin a\cos a} +\frac{4(\cos a-\sin a)}{\sin a+\cos a} $$
$$ =\frac{2(\cos^2 a-\sin^2 a)}{\frac12\sin 2a} +\frac{4(\cos a-\sin a)}{\sin a+\cos a} $$
$$ =\frac{4\cos 2a}{\sin 2a} +\frac{4(\cos a-\sin a)}{\sin a+\cos a}. $$

Приведём к общему знаменателю:

$$ \frac{4\cos 2a(\sin a+\cos a)+4\sin 2a(\cos a-\sin a)}{\sin 2a(\sin a+\cos a)} $$
$$ =\frac{4\bigl(\sin a\cos 2a+\cos a\cos 2a+\sin 2a\cos a-\sin 2a\sin a\bigr)}{\sin 2a(\sin a+\cos a)}. $$

Используем формулы суммы:

$$ \sin 3a=\sin a\cos 2a+\cos a\sin 2a,\qquad \cos 3a=\cos a\cos 2a-\sin a\sin 2a. $$

Тогда

$$ \frac{4(\sin 3a+\cos 3a)}{\sin 2a(\sin a+\cos a)}. $$

Преобразуем правую часть:

$$ \frac{4\sin\left(3a+\frac{\pi}{4}\right)}{\sin 2a\cdot \sin\left(a+\frac{\pi}{4}\right)} = \frac{4\left(\sin 3a\cos \frac{\pi}{4}+\cos 3a\sin \frac{\pi}{4}\right)}{\sin 2a\left(\sin a\cos \frac{\pi}{4}+\cos a\sin \frac{\pi}{4}\right)} $$
$$ = \frac{4\left(\frac{\sqrt2}{2}\sin 3a+\frac{\sqrt2}{2}\cos 3a\right)}{\sin 2a\left(\frac{\sqrt2}{2}\sin a+\frac{\sqrt2}{2}\cos a\right)} = \frac{4(\sin 3a+\cos 3a)}{\sin 2a(\sin a+\cos a)}. $$

Левая и правая части равны, тождество доказано.

Ответ

1) $$4\sin a\cdot \sin\left(\frac{\pi}{3}-a\right)\sin\left(\frac{\pi}{3}+a\right)=\sin 3a.$$

2) $$\frac{(\cos a+\sin a)(1-\tg a)}{\sin \frac a2\cdot \cos \frac a2}+\frac{4(\cos a-\sin a)}{\sin a+\cos a}=\frac{4\sin\left(3a+\frac{\pi}{4}\right)}{\sin 2a\cdot \sin\left(a+\frac{\pi}{4}\right)}.$$